2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study of Quantum Foundations and Quantum Set Theory
| Project/Area Number |
17K19970
|
|---|
| Research Institution | Chubu University |
|---|
Principal Investigator |
小澤 正直 中部大学, 工学部, 特任教授 (40126313)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2020-03-31
|
| Keywords | 量子集合論 / ド・モルガンの法則 / 移行原理 / 量子力学 / 有界量化 / 含意 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
量子力学では、ボルンの規則により、基本的観測命題の射影値真理値とその成立確率が定められる。バーコフとフォン・ノイマンにより導入された量子論理では、量子力学の観測命題にヒルベルト空間の射影を値に持つ真理を割り当て、それによって、各状態における観測命題の成立確率が定義された。1981年に竹内によって導入された量子集合論では、この割当を全ての集合論的命題に拡張した。それによって、量子集合論によって定義される実数の全体と量子観測量の全体が１対１に対応することが示された。また、その後、本研究代表者によって導かれた移行原理により、ZFC集合論で証明可能な命題の射影値真理値が、常に、その命題に現れる定項達の交換子以上であることが示された。これによって、量子物理量の関係に対しても射影値の真理値を与えることが可能になり、例えば、二つの物理量の値が一致する確率が初めて定義されるなど、量子集合論が量子力学の発展に大きな役割を果たしている。ところで、古典集合論においては、連言と選言の他に、全称量化と存在量化、また、有界全称量化と有界存在量化の間にド・モルガンの法則が成り立つ。しかし、竹内の量子集合論では、有界全称量化と有界存在量化の間にド・モルガンの法則が成り立たないことが明らかになった。本研究では、有界存在量化と所属関係の射影値真理値を新たに定義し直すことにより、ZFC集合論の定理に対する移行原理など、これまでの成果を維持したまま，このド・モルガンの法則が成り立つように量子集合論の定式化を改良できることを示した。とりわけ、含意結合子が相補束多項式で定義可能な場合に、移行原理が成り立つ量子集合論が36通り、移行原理とド・モルガンの法則がともに成り立つ量子集合論がちょうど6通りあることが示された。今後、この6種の量子集合論によって，さらに強力な量子集合論の理論展開が期待される。
|
