2006 Fiscal Year Annual Research Report
混合ホッジ構造のモジュライ空間のコンパクト化とlog幾何
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18540017
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中山 能力 東京工業大学, 大学院理工学研究科, 助手 (70272664)
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| Keywords | 対数的幾何学 / 混合ホッジ構造 / ホッジ理論 / 加藤-臼井空間 / 巾零軌道 / SL(2)-軌道 |
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| Research Abstract |
当研究は混合ホッジ構造のモジュライ空間のコンパクト化を、log幾何を用いて構成することを目ざすものであった。今年度の大きな成果は、加藤和也氏、臼井三平氏との共著である、カッターニ-カプラン-シュミットの多変数SL(2)-軌道定理の混合版を証明した論文を改訂し、再投稿できたことである。この結果はコンパクト化の構成の際の主要な道具の一つとなることがみこまれる。この論文は昨年度に投稿中であったが、その概要は以下の通りである。
1.多変数SL(2)-軌道定理の混合版を、混合ホッジ構造の標準分裂を用いて定式化する。この際、混合ホッジ構造のδ-不変量だけでなく、ζ-不変量をも考えることが本質的である。
2.混合ホッジ構造を純ホッジ構造に部分商として埋め込み、混合版をカッターニ-カプラン-シュミットによる純版に帰着させる。その際純版に関する補足的な情報として、SL(2)-軌道とボレル-セール理論との関係をも用いる。
3.応用として、カッターニ-カプラン-シュミット、柏原らによるホッジ距離の退化の評価の混合版も得られる。
これらは1変数のあるホッジ型の場合についてのパールシュタインの最近の仕事の一部の別証明をも与えている。
改訂版での最大の変更点は、1におけるδ-不変量とζ-不変量との非可換性を考慮した主定理の定式化の変更である。δ-不変量とζ-不変量とは応用上重要な多くの場合に可換であり、例えば、2つの重みや連続する3つの重み以外では0の場合(特にパールシュタインの扱った場合)には可換である。しかし一般のホッジ型では必ずしも可換ではない。
次に、他の成果としては、第一に、上記論文の主定理を用いた混合ホッジ構造のモジュライ空間のコンパクト化の構成のプログラムを作成した。第二に、上記論文3の応用として、退化するチャーン類の積分表示について研究し、例の計算などを行なった。
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