2007 Fiscal Year Annual Research Report
差分法に基づく超高精度数値解法の構築と非適切な偏微分方程式逆問題への応用
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18540108
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
大西 和榮 Ibaraki University, 理学部, 教授 (20078554)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
代田 健二 茨城大学, 理学部, 准教授 (90302322)
大浦 洋子 九州情報大学, 経営情報学部, 教授 (70122695)
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| Keywords | 応用数学 / 逆問題 / 数値解法 / 偏微分方程式 / フィルタリング |
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| Research Abstract |
研究2年目として、当該年度はデータにノイズが含まれる場合を許す解法の構築に重点を置いた。一昨年度から、従来の多項式ベースの差分法をやめて、指数関数をベースとする補間法から導くことのできる指数型多点差分法に切り替え、任意精度かつメッシュフリーの差分法を採用した。その結果、データに誤差がなく、しかも対象領域の近傍に特異点のない解をもつラプラス方程式のコーシー問題に対しては、望む精度の結果を出せることに成功した。
コーシーデータに誤差が混入している場合には、もともとのコーシー問題は解をもたないことになる。しかしながら、誤差が混入していない状況を想定して本来のコーシー問題を解くことが要求されているはずであるから、誤差の混入に対する処置が必要となる。任意多点差分法による離散化によって得られる連立一次方程式は、決まって悪条件のため、右辺定数項に誤差を含む場合には、何らかの正則化が必要となる。正則化なしに連立一次方程式を解いても無意味となるからである。実際、通常の倍精度計算といった、逆問題の数値計算においては精度の低い計算法を用いると、計算桁数不足という自然な正則化により、データに誤差が混入している場合にあっても、許容できる計算結果が得られた。しかしながら、このような計算結果には品質保証をつけにくい。正解があらかじめ知られているからこそ、結果が許容できるか否かが判断できるのである。実際の問題では、正解は分からないので、計算結果の許容基準を他に求めなければならない。そのような可能性の1つとして、擾乱の混入を確率過程と見做すモデルを取り上げ、フィルタリングを組み合わせた方法を案出し、基礎的なアルゴリズムを構築した。
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