量子統計的視点からの幾何学的漸近解析の諸問題の研究

2006 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18740089
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 楯 辰哉 名古屋大学, 大学院多元数理科学研究科, 助教授 (00317299)
• Keywords: 幾何学的漸近解析 / ボゾンガスの漸近挙動 / 分割数の漸近挙動 / 量子統計 / 行列モーメント積分 / ランダム行列理論 / 放物的誘導表現

Research Abstract

1.ボゾンガスの状態数の漸近挙動について得られた結果を論文にまとめ、アーカイブに投稿した。(math/0702857)
この研究は分割数のスペクトル論的な類似に相当する(フリー)ボゾンガスの状態数の漸近挙動を、量子ハミルトニアンが周期的な場合に、分割数の漸近挙動を調べる際に用いられるMeinardusのsuddle point methodを応用して調べたものである。波動作用素のトレースの純虚数軸での特異性の性質が解析に反映するが、その部分をDuistermaat-Guilleminのトレース公式を用いて解析した。
結果は周期系の場合のみであるが、平均化したボゾンガスの状態数の漸近挙動については、一般の状況で得られている。これは一体問題の場合のWeylの漸近公式に相当するものである。
2.Michael Stolz氏との共同研究で、ランダム行列理論に現れるモーメント積分のテンソル積パラメータについての漸近挙動に関する論文をまとめ、アーカイブに投稿した。(math/0610720)
またこの論文はProceedingsAMSに受理され出版予定である。
この研究は、モーメント積分にテンソル積上の対称群の表現の指標が現れるが、このテンソル積のパラメータに関する漸近挙動をZelditchと筆者による方法で調べたものである。
Diaconis-Shashahaniの公式はテンソル積のパラメータが行列のサイズに比べて小さい場合を扱っており、漸近形ではあるがそれと対照的な結果となっている。結果は、モーメント積分を汎関数と考え、その弱収束の意味で、ある可換有限部分群上の測度に収束することが分かった。
3.現在Stolz氏と更に共同研究を進めている。問題はランダム行列理論の、放物的誘導表現から得られる群と表現の無限列への一般化である。これは次年度以後への課題である。