2019 Fiscal Year Annual Research Report
Low-dimensional Topology: Knotted surfaces as real algebraic varieties
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18F18751
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
鎌田 聖一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (60254380)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
BODE BENJAMIN 大阪大学, 理学研究科, 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2018-11-09 – 2021-03-31
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| Keywords | トポロジー / 結び目 / 曲面結び目 / 実代数的絡み目 / ブレイド |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度の研究でブレイド群のn進整数への作用を調べて、一つのプレイドからそれに固有なブレイドの族を構成するという議論を研究し、論文をarXiv（arXiv:1903.06308v1）でインターネット上に公開した。そこでは配置空間の被覆空間の無限列の構成とその性質が明確ではなっかため、その修正を行い、修正した論文をarXivに第２版（arXiv:1903.06308v2）として公開した。これに関して、2019年5月に京都大学で開催された研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」で被覆空間の無限列と付随したブレイドの無限列について発表を行なった。
擬正（quasi positive）な絡み目は代数平面曲線と３次元球面の交わりに生じる絡み目の重要な族であり、結び目理論や曲面のブレイド理論で重要な役割を果たしている。L. Rudolphにより任意の絡み目は、ある擬正絡み目の部分絡み目として実現できることが示されているが、それを実現する多項式を具体的に見つけることは一般に容易ではない。特別研究員のBodeはM. Dennisと共に多項式の構成を行なってきたが、それを発展させることで、任意の絡み目はホップ絡み目のサテライトであるような擬正絡み目の部分絡み目として実現でき、その絡み目をブレイド表示した時のブレイド指数を次数に持つ多項式が存在することを示した。その応用として、与えられた絡み目が零点集合に現れるようなMaxwellの方程式を満たす電磁場を構成することに成功した。これに関しては、2019年11月に成都大学（中国・成都）で開催された国際会議「The Third Pan-Pacific International Conference on Topology and Applications」でBodeが研究成果の発表を行なった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
任意の絡み目はホップ絡み目のサテライトである擬正絡み目の部分絡み目として実現できることと、その絡み目をブレイド表示した時のブレイド指数を次数に持つ多項式が存在することがわかった。また、その応用として、与えられた絡み目が零点集合に現れるようなMaxwellの方程式を満たす電磁場を構成することに成功した。特別研究員の Bodeによる国際会議での発表も行われた。
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| Strategy for Future Research Activity |
ループブレイドというブレイドの高次元化に関して多項式表示の研究を行なってきたが、多項式の次数に関する評価と構成するアルゴリズムを明確にして研究成果のまとめを行いたい。トーラス上の２次元ブレイドの正則関数表示に関しても、国内外の専門家と意見交換を行い、フィードバックを得ながら、研究成果のまとめを行なっていく方針である。
研究者とは直接あって意見交換をすることが有効であるが、新型コロナウイルスの状況によっては、インターネットのオンライン会議機能などを利用していきたい。
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