2019 Fiscal Year Annual Research Report
Global Study of Primitive Forms
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18H01116
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
斎藤 恭司 京都大学, 数理解析研究所, 名誉教授 (20012445)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柏原 正樹 京都大学, 高等研究院, 特定教授 (60027381)
高橋 篤史 大阪大学, 理学研究科, 教授 (50314290)
池田 暁志 大阪大学, 理学研究科, 特任講師 (40755162)
桑垣 樹 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 特任研究員 (60814621)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 楕円アルティン群 / 楕円リー環 / 楕円積分 / Eisennstein 級数 / 原始型式 / integrable hierarchy |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の実施計画に述べた三つの課題に即して成果報告する。
第一：1. 楕円アルティン群に関して、その上の楕円モジュラー群の作用の理解が大幅に進み、その拡大類がモジュラー群上コア外部自己同型群を係数とするコサイクル類により記述されることがわかった。現在斎藤義久氏との共著論文を作成中である。2. 庵原氏とは楕円リー代数をすべての楕円ルート系に対して構成するプログラムが進行し、特に新たな双対性の概念（有限次元代数の表現論では知られていた）が有効であることが分かり、引き続き共同研究を進める。3. 楕円リー環の最高次ウェイト表現論は論文作成が遅れている。
第二：1. 上記第一の最初の課題とも関連して、階数２のルート系（A_2,B_2,G_2)に対応する原始積分が楕円積分で記述でき、その周期写像論を構築した（出版確定）。これは古典的な課題であるにもかかわらず、新たなクラスのEisenstein 級数を導入することにより、すべての有限ルート系に対する原始保型形式に関する一般的な discriminant 予想への肯定的な最初の結果である。2. それらの Eisenstein 級数のカスプにおける値を一般的に求める公式を青木宏樹氏との共著論文を作成した（出版確定）。3. モノイドに対する二変数増大関数の理論は今年度は取り組まず、進展していない。
第三：1. 高次剰余構造を持たない原始形式と、integrable hierarchy (Gelfand-Dickyなど）との関連について、Kostantin Aleshkin との共同研究が進みその前編（原始形式の構成部分）について、論文作成投稿した（レフェリー中）。2. 可積分構造に関して、同氏との議論を重ねており、次年度の課題として引き継ぐ予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
第一：1. 楕円アルティン群については、既に前年度にも共著論文を仕上げる予定であったが、今年度にずれ込んでしまった。その理由が、モジュラー群の作用の理解がこれまで不十分だったことが判明し、その構造の解明に時間を要した為なので、数学としてはむしろ進展したと思う。2. 楕円リー環の一般的構成が遅れてはいるが、庵原氏との共同で双対性の発見など、むしろ理解は深まっており、今後の発展の基礎になる進展が見られたと思う。3. 楕円リー環の最高次表現論は骨子は既に出来上がっているので、時間を見て早期に公表したい。
第二：1. 階数二のルート系に対する周期写像論は、目標としてたすべてのルート系に比べればまだ初歩的段階といえるが、逆にその場合にでも一般的予想に対するエビデンスを与えたことは今後の進展への強いサポートとなる。またその場合でさえも、上記第一の課題の中で必要とする結果が得られており、望ましい方向に向かっている。2. モノイドのの増大関数をモチビックに書き直すことの原稿の下書きはできているので、早く公表したい。
第三：1.integrable hierarchy については、その基礎になるメトリック構造のない原始形式の理論のが公表できたので、引き続き研究を進める。
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 楕円アルティン群に関する斎藤義久氏との共著論文を今年度前期には完成させる。
2. 楕円リー環の一般構成に関して庵原氏と今年度後半時間をとり議論を重ねる。
3. メトリックなしの原始形式と可積分系との関連にかんするアレシュキン氏との共著論文の完成を目指す。
4. A_n型、D_4型のルート系および、１４の例外型e-ハイパボリック型ルート系に対する大域的周期写像論の構築に力を入れる。
5. ハイパボリックルート系の理論、楕円リー環の最高次ウェイト表現論、モノイドに対する二変数増大関数論など、既に下書きのできている原稿を出版可能な形に完成させる。
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