2020 Fiscal Year Annual Research Report
Global Study of Primitive Forms
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18H01116
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
斎藤 恭司 京都大学, 数理解析研究所, 名誉教授 (20012445)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柏原 正樹 京都大学, 高等研究院, 特定教授 (60027381)
高橋 篤史 大阪大学, 理学研究科, 教授 (50314290)
池田 暁志 城西大学, 理学部, 准教授 (40755162)
桑垣 樹 大阪大学, 理学研究科, 助教 (60814621)
社本 陽太 東京大学, 早稲田大学, 特任助手 (50823647)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 楕円ルート系 / 楕円リー環 / 楕円アルティン群 / 楕円アルティンモノイド / 非キャンセラティブ / 高次ホモトピー類 / ハイパボリック ルート系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１。楕円リー環の構成に関して、リヨン大学の庵原謙治氏との共同研究が進んだ。具体的には「楕円ダイアグラムの折りたたみに関して楕円ルート系を４系統に分類し、その基本となるADE型の楕円リー環から、順次その不変部分リー環、または、（昨年度導入した）その flip の不変部分リー環を取ることにより構成する」という方針が確定し、group I 及び II についてその構成を実行し、Pollmann による先行研究との比較を行なった。残る group III, IV については次年度に持ち越しとなった。
１’。上記の課題を将来、最高ウェイト可積分表現論に進展させる上で、ルート系の符号分解の理論を建設することが重要と認識されるに至り、これまで中断していた、ハイパボリックルート系の理論の整備を大幅に進めた。特に、符号理論を従来の幾何学的な理論から、一般のカルタン行列の理論に拡張することにより、応用が大幅に広がった。
２。楕円アルティン群に関しては、立教大学の斎藤義久氏との共同研究で、その上への楕円モジュラー群の作用の分類理論が（古典的な、ルート系の外部自己同型理論とは全く異なる構造を用いることにより）完成させた。それに伴い、楕円アルティン群のモジュラー拡大の構成を行なった。その拡大が、分裂するか否かは未だ不確定である。
２’。上記の課題から、派生する形で、楕円アルティンーモノイドの概念が導入され、（１）それが非キャンセラティブであること、（２）その非キャンセラティブな組みが楕円周期領域の regular part の二次ホモトピー類を記述するという、これまでにない新事実を発見した。
３。距離構造のない原始形式の研究は進展していない。
４。原始形式の入門書の原稿、および、その可積分系への応用書（共著）の原稿を書き進めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１。楕円リー環に関しては、出版するまでには至ってないが、楕円ルート系の折りたたみによる全体構造とリー環の不変部分環による構成との関連が見える様になり満足すべき進展と言える。またその関連のために、ハイパーボリックルート系の理論に付随するルート系の符号理論の整備が大幅に進んだことも、今後予定される最高ウェイト可積分表現論の基礎づけを与えるもので、極めて重要と思われる。
２。楕円アルティン群の研究に関しては、出版するには至っていないが、楕円モジュラー群の作用構造が、完全に記述できるに至り、大幅な進展と言える。さらに、楕円モノイドが系統的に、非キャンセラティブな組みを持つこと、及び、それらが、楕円周期領域のregular part の二次のホモトピー類を記述することの発見は、従来、アルティンモノイドに対して考えられてきたラティス構造及び、それにより示される K(\pi,1)-構造とは全く異なる、新現象であり、より深い解明を要する注目すべき事実と思われる。
以上の１。及び２。の課題については、学問的に満足すべき、あるいは、注目すべき進展があったと考え、現在それらの出版準備を進めている。
３。距離構造のない原始形式の理論は、共同研究者との共同作業が中断した状態にあり、残念ながら全く進展していない。
４。原始形式の入門書の原稿、および、その可積分系への応用書（共著）の原稿は未完成ではあるが、それぞれ順調に書き進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
１。楕円リー環に関しては、今年度見えた方向である、ルート系の折りたたみとflip とを合成した変換と、代数の不変式環都の対応原理に基づいて、Group III, IV の楕円リー環の構成を行い、その理論の出版を行う。
２。引き続き、ルート系の符号分解の理論を、楕円ルート系やハイパボリックルート系を含む一般的な構造として記述を行う。
３。楕円モジュラー群の楕円アルティン群への作用の理論の出版を行う。
４。楕円アルティンモノイドから生成された二次のホモとピー類のZariski-van Kampen 表示を与え、その非消滅の証明を目指す。また、その意味を考える。
５。原始形式の入門書の原稿、および、その可積分系への応用書の原稿を完成させたい。
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