2020 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis and geometry of fractals and stochastic processes on them from field-transverse viewpoints
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18H01123
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
梶野 直孝 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (90700352)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
白石 大典 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00647323)
中島 誠 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (60635902)
田中 亮吉 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80629759)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | フラクタル上の解析学 / フラクタル上の確率過程 / エネルギー測度 / ウォーク次元 / 乗法型確率熱方程式 / 双曲群 / 3次元一様全域木 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度（および（再）繰越期間である2021-2022年度）は研究代表者の梶野および研究分担者の中島・田中・白石がそれぞれ研究計画調書に記した担当課題(1)-(7)および関連する新たな研究課題について研究を進めた．
梶野は課題(3)「エネルギー測度」について，Mathav Murugan氏(UBC)と2019年度に行った共同研究の結果を論文にまとめ出版した．またこの結果ではエネルギー測度が特異になるかどうか不明な状況が一部に残っているが，その状況に含まれるがエネルギー測度は特異になっているような具体例の族を実際に構築することにより，残る状況でもエネルギー測度は特異になるであろうとの予想に明確な根拠を与えた．さらに一般化Sierpinski carpetという重要な自己相似フラクタルの族に対し，そのwalk次元は2より真に大きいという基本的事実の初等的証明を与えた．
中島は乗法型確率熱方程式およびKPZ方程式と呼ばれる確率偏微分方程式の3次元以上の場合の研究を行い，L^2-領域と呼ばれるパラメータ領域において解の摂動を求めEdwards-Wilkinson型の確率偏微分方程式が現れることを示した．
田中は双曲群の位相流を導入し整備することで擬相似剛性定理を証明し，成果を論文にまとめ公表するとともに研究集会で発表した．
白石はOmer Angel氏(UBC)，David A. Croydon氏（京都大学），Sarai Hernandez-Torres氏(UNAM)との共同研究において3次元一様全域木のスケール極限の存在証明を与え，さらに一様全域木の構造に関する諸性質を明らかにした．
そして2022年3月にはフラクタルおよび特異距離空間の解析・幾何に関する国際研究集会を沖縄で開催し，フラクタルに関わる様々な分野の研究者を講演者として国内外から多数招聘し研究交流を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
梶野は，課題(3)「エネルギー測度」に関する研究で2019年度に得られた結果について2020年秋に論文の出版を完了した他，そこで未解決の点についても予想を支持するような具体例の構築を果たし，さらにwalk次元が2より真に大きいというエネルギー測度の特異性を保証する基本性質が一般化Sierpinski carpetという重要例において成立する仕組みを明らかにした．これらの結果によりエネルギー測度やそれに関わる性質に対する理解は大きく進展したと言える．
中島・田中・白石も関連する新たな研究課題を独自に見出し精力的に研究を行うとともに，論文の公表および研究発表も着実に行っており，本科研費研究課題の目的は十分に果たせていると評価できる．
4名の研究活動で研究計画調書に記した課題(1)-(7)を網羅できているとまでは言い難いものの，いずれの課題も解決に相応の困難を伴っているのは当初からの見込み通りであり，目立った進展のない課題があることは止むを得ない．
2020年度中に日本国内で開催する予定であったフラクタルおよび特異距離空間の解析・幾何に関する国際研究集会については，新型コロナウィルスの感染拡大により二度に渡って延期を余儀なくされ，それに伴い本科研費研究課題も二度に渡る繰越を行うこととなったが，最終的には2023年3月に無事対面形式での開催を果たした．多くの参加者の方々にとって3年振りの対面での大規模な国際研究集会となり，国内外の研究者の間で久し振りに活発な研究交流が交わされたことで「『分野横断的視点』の普及による数学の一分野としてのフラクタル研究の全体的な発展に資する」という集会の意図は十分に達成されたと考えている．
以上の経過から，全体として研究は概ね順調に進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者の梶野は課題(3)「エネルギー測度」に関して，2019年度の研究で未解決の点についての予想を支持する具体例の構築を速やかに論文にまとめるとともに，一般化Sierpinski carpetのwalk次元が2より真に大きいことの初等的証明に関する論文も出版を果たせるよう努力する．
その他，研究計画調書に記した課題(1)-(7)および関連する新たな研究課題について，梶野および研究分担者の中島・田中・白石がそれぞれ引き続き国内外の研究集会に出席して近年の研究の進展に関する情報の把握に努めるとともに，中島，田中，白石と梶野の間での研究打合せにより解決に向けて努力する．
以上の記述は2020年度末における研究の進展状況に基づくものである．実際には新型コロナウィルス感染拡大の影響により2020年度課題は2022年度へと再繰越，2021年度課題も2022年度へと繰越され，2022年度中には不測の事態が生じなかったことから再度の繰越を行うことなく両課題とも2022年度末で補助事業期間を終了した．従って本研究課題の事業期間も既に終了していることになるため，2023年4月時点での研究実施状況に基づく今後の研究の推進方策は記載しないこととする．
なお本来であれば2021年度は，2020年度に開催した研究集会で得られた知見を基に研究の更なる進展を図る期間，という位置付けであった．しかし2021年4月時点で既に研究集会は2022年3月に延期されていたため，研究集会で得られた知見に基づいて2021年度の研究を行うことは不可能となった．さらにこれを事由として2021年度課題を研究集会の翌年度に繰り越すことも，交付申請時点で生じている事由であることから繰越の条件に合致せず不可能であった．そこで2021年度課題は位置付けを変更して，研究集会に向けて研究業績を蓄積するための期間として扱わざるを得なくなった．
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| Remarks |
「科研費を使用して開催した国際研究集会」の項目に記載した国際研究集会``Analysis and geometry of fractals and metric spaces: Recent developments and future prospects''の実際の開催時期は2023年3月である（電子申請システムが2022年以降を入力として受け付けなかったため止むを得ず2021年と記載した）．
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Research Products
(17 results)
