2018 Fiscal Year Annual Research Report
Quasiconformal extension in differential geometry and theory of the universal Teichmueller space in harmonic analysis
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18H01125
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
新井 仁之 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (10175953)
小森 洋平 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70264794)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
佐官 謙一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (70110856)
柳下 剛広 山口大学, 大学院創成科学研究科, 講師 (60781333)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 複素解析学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
BMO 関数は調和解析分野で重要な役割をもつ関数であり，その研究は実解析的に発展している．その研究の一部を複素解析的に取り入れたものが BMO タイヒミュラー空間の理論である．複素解析的なタイヒミュラー空間が平面上の擬等角写像による単位円周の像である擬円周をパラメトライズするならば，調和解析的な BMO タイヒミュラー空間は双リプシッツ写像による単位円周の像である弦弧ジョルダン曲線をパラメトライズする．単位円周の自己同相写像族でも表現でき，擬対称写像のうち写像の合成が BMO 関数族を保存するもの全体から BMO タイヒミュラー空間は成り，位相も BMO ノルムを用いて定義される．
BMO タイヒミュラー空間は普遍タイヒミュラー空間 T に含まれ，単位円板上のベルトラミ係数がカルレソン測度を定めるものでも特徴づけられる．その測度が境界で退化するものからなる部分空間が VMO タイヒミュラー空間である．この両者の関係は，T と漸近的等角写像からなる部分空間 T_0 の関係に対応し，商空間である漸近的タイヒミュラー空間 T/T_0 の理論が，BMO／VMO にも応用できる．今年度の研究では，商ベアス埋め込み写像の単射性を用いて漸近的 BMO タイヒミュラー空間に複素構造を導入した．また，BMO タイヒミュラー空間に新たにカルレソン計量という群構造に関して不変で完備な計量を定義し，商空間へ射影した．それらを用いて，弦弧ジョルダン曲線に対応する BMO タイヒミュラー空間の部分領域の連結性に関する問題へのアプローチを与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画通り，BMO 関数という調和解析分野で重要な役割をもつ関数のタイヒミュラー空間論でまず結果を出すことができたため，研究が順調に進んでいると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で得られた BMO タイヒミュラー空間に関する結果を発展させるために以下の問題を研究する．（１）複素構造を与えるための新しい議論のために，等角重心拡張という擬等角拡張から誘導される切断の連続性を証明する．（２）ベルトラミ係数の空間からの射影が正則沈めこみであることに関連して，自明なベルトラミ係数がつくる擬等角自己同相写像を解析し，それが射影と両立するベルトラミ係数の空間の双正則自己同相写像を誘導することを示す．（３）BMO タイヒミュラー空間上に定義したカルレソン計量の連続性を証明する．
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