2020 Fiscal Year Annual Research Report
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18H01132
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高村 博之 東北大学, 理学研究科, 教授 (40241781)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
池田 正弘 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 研究員 (00749690)
若杉 勇太 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (20771140)
若狭 恭平 釧路工業高等専門学校, 創造工学科, 講師 (60783404)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 半線形消散波動方程式 / 冪型非線形項 / スケール不変消散項 / Strauss指数 / 藤田指数 / 初期値問題 / 古典解 / lifespan |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は大きく分けて二つの成果を得た。一つ目は空間２次元における冪型半線形消散波動方程式の古典解の最大存在時間、いわゆるlifespanの評価である。消散項はスケール不変と言われる解が熱的に振る舞うか波動的に振る舞うかの境目で、時間変数に関して１次の減衰を持っている場合である。この設定の下では、消散項の定数の大きさが問題になるデリケートな状況である。熱的と思われている根拠は臨界指数が半線形熱方程式のそれである藤田指数に、波動的と思われている根拠は臨界指数は消散項がない場合のそれであるStrauss指数に関連したものになるからである。考察した方程式の消散項は、ちょうどその指数が切り替わる境目の定数を持ったものである。実はその場合は偶然にもLiouville変換によって時間減衰をもった半線形波動方程式に書き換えることができる。その性質を利用して古典解のlifespan評価を導出したところ、昨年度に空間１次元で観測できたように、初期速度の全空間での積分量がゼロか非ゼロかによって評価が変わる、極めて波動的な状況になっていることがわかった。また、特に臨界冪の時は、通常の波動方程式より解の対数増大が大きくなるため、指数型のlifespan評価、つまり概大域存在を決定する指数が整数ではなく１より小さい非整数になっていることまで詳細に解明できた。これは、スケール不変な半線形消散波動方程式の解は、決して熱的ではなく極めて波動的ではあるが、通常の半線形波動方程式の解では見られない性質も持ち合わせていることを示している。この結果は、将来、一般的な非線形消散波動方程式を解析するときの原則的なものになる重要な例になった。
二つ目の成果は半線形消散波動方程式の系に対する解析で、消散項の時間減衰がスケール不変より強い場合に、消散項がないような結果になることが複数の非線形項に対して証明できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度の本研究の中心は空間２次元での解析だったが、まず、今まで知られていなかった大元となる低冪を持つ半線形波動方程式の古典解のlifespan評価を詳細に導出したことが大きい。この分野の解析はほとんど終わっているが、解の各点評価に初期速度の全空間での積分量を反映させて導出する困難さから、その部分が３０年近く空白になっていた。ここを波動方程式の分野では有名であるヘルマンダー・リンドブラッド評価を改良して、各点評価の逐次代入で解を構成するジョンの方法に組み込むことに成功して解決することができた。この成果は非常に大きく、これだけでも当初の計画以上に進展している、と評価することができる。更にその解析手法をそのまま応用することができたため、先述の研究実績の概要にある最初の成果を挙げたことは注目すべき点である。
また、スケール不変より強い時間減衰を持つ散乱消散項付き半線形消散波動方程式のエネルギー解のlifespan評価が消散項のない場合に等しいことを昨年度は単独方程式について解析したが、今年度は系について考えられる全ての場合に拡張できた。この成果も大きく、すでに多数の論文に引用されている状況にある。
更に、単独方程式で消散項の係数が通常考えられる正ではなく負の場合には、異常に短い解の存在時間になることも導出した。これは今までに解析が全くない新規性のある結果で、直ちに複数の論文に引用されるに至った。
以上の状況を鑑て、今年度の本研究課題の進捗状況は、「当初の計画以上に進展してる」ことを選択するに相応しいと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の成果の起点となった元々の消散項が付かない空間２次元半線形波動方程式の古典解の新しいlifespan評価は、更に次元が低い空間１次元でも解析が十分ではない可能性を示唆している。したがって、半線形消散波動方程式を解析する前に、まずは、大元の空間１次元における半線形波動方程式の古典解に対するlifespan評価の改良を考察する。もし、改良がそれ以上見込めないようであれば、一般の係数を持った消散項付き半線形波動方程式を空間１次元で解析する予定である。
更に時間があれば、分担者の津田谷公利氏と若杉勇太氏が解析している宇宙論に現れる特別な非線形波動方程式とは異なるタイプの方程式の解析も開始したい。
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