2018 Fiscal Year Annual Research Report
Index theorem of infinite-dimensional manifolds and noncommutative geometry
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18J00019
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
高田 土満 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 指数理論 / 非可換幾何学 / 無限次元多様体 / ループ群の表現論 / KK理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は，KK理論などの非可換幾何的な道具立てを用いて無限次元多様体に対する指数定理を定式化し証明することである．その目標のための最も大きな障害は，無限次元多様体上の連続関数環が適切に定義できない点にある．しかし，ヒグソンらは，非可換Ｃ＊環を用いて，無限次元空間の「関数環」と見なせるもの（以後ＨＫＴ環）を構成した．計画段階では，それを参考に新たにＣ＊環を構成する予定でいたが，本年度，目指すべき定理を少し書き換えることで，ＨＫＴ環によってその書き換えた定理の無限次元版（の一部）を証明することに成功した．その構成のポイントは，表現論などを用いた既存の「無限次元解析」を定量化することにある．これは例えるならば，「無限変数の多項式環」のそれぞれの要素は（定義から）有限個の変数しか含まないのであるが，その定義を「収束する無限和」に置き換えることに相当する．このような構成は「連続関数環」と見なせるＣ＊環と相性が良い．
さて，その定理の定式化には，ループ群に関する同変ＫＫ理論の構成が必要であった．論文の段階ではカスパロフ積の存在や一意性が保証されていない不完全なものであったが，その後の研究によってそのような性質が保証される定式化を見つけた（未発表）．最近では，そのループ群同変ＫＫ理論を用いてフリードらによるループ群の表現論とねじれ同変Ｋ理論の間の同型定理を，より直接的に証明できるのではないかと考察しており，ループ群同変ＫＫ理論は，今後重要性を増していくはずである．
今後についても，今年度の結果をさらに発展させる形で研究を進めていきたい．例えば，非コンパクト多様体のＫホモロジー群は，係数付きの，コンパクト台でないＫ理論と同型である（ポアンカレ双対）．そのようなＫ理論は無限次元多様体に対しても意味を持つため，本年度構成したＫホモロジー群との同型が証明できれば非常に面白い結果になる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新たな「関数環」の構成をスキップできる定式化を見つけられたため，それぞれのＫＫ群の元の構成に力を入れることができ，順調に研究が進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの方針通り，作用素環的な枠組みで指数理論を考察していくのであるが，今後はフリードらによるループ群の表現論とねじれ同変Ｋ理論の間の同型定理や，位相的Ｋ理論との間の関係など，既存のものとの関連も調べていきたい．
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