2019 Fiscal Year Annual Research Report
Study of arithmetic duality using the rational etale site
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18J00415
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
鈴木 貴士 中央大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2018-04-25 – 2021-03-31
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| Keywords | 数論的双対性 / 有理エタールサイト / Abel多様体 / BSD予想 / 高次元類体論 / Neronモデル / p進隣接サイクル / Weilエタールコホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は，私の構築した道具「有理エタールサイト」による双対性理論を応用して，新結果を得て，また新プロジェクトも開始した．具体的には以下の(1)-(5)である．
(1) 昨年度プレプリントを公開した，関数体上のAbel多様体のL関数のBSD公式のWeilエタール版（Geisser氏との共著）の論文と，有理エタールサイトの改良の論文は，それぞれ論文誌での出版まで漕ぎ着けた．(2) Lai, Longhi, Tan, Trihanの四氏と共同研究を行い，関数体上のAbel多様体の岩澤理論と正標数代数曲面の代数幾何の間の関係を明らかにした．これは有理エタールサイトを用いて定義したTate-Shafarevichスキームの応用である．この結果はプレプリントとして公開され，論文誌に投稿され，現在査読中である．(3) Bertapelle氏と共同研究を行い，Greenberg変換を相対的な場合に拡張し，それを用いて代数的トーラスの特殊ファイバーの双対性の結果を得た．これは加藤氏との前年度の共同研究における，p進隣接サイクルの双対性を，よりモチーフ論的に精密化するものとなる．この結果は現在論文執筆中である．(4) ドイツのOberwolfach，ニセコと，京都でそれぞれ開かれた国際研究集会に招待され，講演を行い，好評を得た．(5) Oberwolfachで知り合ったモチーフ理論の大家Kahn氏と共同研究が始まった．彼の構想するTate-Shafarevichモチーフは，まだ完全に一般には構成されていないのだが，この共同研究により一般の場合の構成の目途が立った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
去年度舞い込んだ共同研究を発展される形で研究が進んでいる．共同研究の一つ（関数体上のAbel多様体の岩澤理論）は，論文誌投稿まで漕ぎ着けた．他の共同研究も順調に推移している．また予定外の共同研究も一件，今年度新たに発生した．当初の予定であった，2次元局所環の双対性の（単著の）プロジェクトについては，準備の論文の掲載許可まで漕ぎ着けた．以上は極めて順調である．
ただ，2次元局所環の双対性のプロジェクトの本体はあまり進んでいない．これは予定外の共同研究が次々舞い込み，そちらへ注力したためである．またその影響で，当初3年度目に予定していた，de Rham p進表現のコホモロジーの有限部分の双対性のプロジェクトについては，時間が足らず手が付かない事になるかもしれない．いずれも，新規に舞い込んだ共同研究を優先して発展させる方が，研究のスコープが広がり，中～長期的に見て実り豊かと考えての判断である．ただし散漫にならないようにするため，新規のプロジェクトは半年～一年で論文投稿まで終えられる可能性が高い部分に絞って行っている．
総合的に見て，おおむね順調に推移していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) Bertapelle氏との共同研究の，Greenberg変換の相対化と代数的トーラスの特殊ファイバーの双対性の完成を目指す．Greenberg変換の相対化の部分はほぼ執筆を終えているので，ここまでで一つの論文とする．代数的トーラスの特殊ファイバーについては，本研究期間の残りの時間を考慮して，今後の課題とする可能性がある．(2) Geisser氏との共同研究の，1モチーフのNeronモデルのWeilエタールBSD公式を確立する．まず1モチーフのNeronモデルとその双対性を，大域化可能な形に改良する．また小野の玉河数公式をトーラスのWeilエタールコホモロジーで書き直す．最後にAbel多様体の場合と組み合わせて，1モチーフのWeilエタールBSD公式を得る．(3) Kahn氏との共同研究の，Tate-Shafarevichモチーフの構成については，代数的サイクルのSelmer群と曲面の2次コホモロジーへの作用の整合性を示す必要がある．その際モチーフ理論の大道具は必要無い筈で，具体的なサイクルが具体的なコホモロジーにどう作用するかを記述すれば良い筈である．この部分を詰めていく．(4) 昨年度行った，有理エタールサイトの改良に基づき，2次元局所環の双対性を確立する．特異点の無い場合の扱いはほぼ判明しており，特異点の扱いが焦点となる．斎藤による剰余有限の場合では，特異点解消に対してイデール群構成を適用しているので，この部分を有理エタールサイトの枠組みに乗せれば良い筈である．(5) 余力があれば，de Rham p進表現のコホモロジーの有限部分の双対性についても手掛ける．
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