2018 Fiscal Year Annual Research Report

Navier-Stokes方程式の自由境界問題の解のダイナミクスの数学解析

Research Project

Project/Area Number	18J01068
Research Institution	Keio University
Principal Investigator	榎本翔太慶應義塾大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
Project Period (FY)	2018-04-25 – 2021-03-31
Keywords	非圧縮粘性流体 / 自由境界問題
Outline of Annual Research Achievements	本研究では流体内部の影響で境界が変化する自由境界問題の解の安定性解析を行うことを目的としている。本年度は斜面を流れる非圧縮粘性流体に対する定常解の線形安定性の解析を行った。斜面を流れる非圧縮粘性流体の自由境界問題はBenneyにより底面及び水面が平らな場合に得られるNavier-Stokes方程式の定常解（Nusselt解）からの摂動として定式化されている。この方程式系は適切な変換や近似によりOrr-Sommerfeld方程式や倉本-Sivashinsky方程式、KdV-Burgers方程式やBenney方程式等の数多くの方程式が導出されることが知られている。この為、Navier-Stokes方程式の自由境界問題としての安定性を考察することは他の方程式系に対する意味付けとしても大変重要な課題となっている。井口達雄教授と上野大樹博士との共同研究により、Nusselt解周りで定式化されたNavier-Stokes方程式の自由境界問題の線形化解析を行い、波数分解法により高周波パートと低周波パートに関してスペクトル解析の結果を得た。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本研究では流体内部の影響で境界が変化する自由境界問題の解の安定性解析を行うことを目的としている。本年度は斜面を流れる非圧縮粘性流体に対する定常解の線形安定性の解析を行った。井口達雄教授と上野大樹博士との共同研究により、Nusselt解周りで定式化されたNavier-Stokes方程式の自由境界問題の線形化解析を行い、波数分解法により高周波パートと低周波パートに関してスペクトル解析の結果を得た。関連した方程式系において斜面の角度が十分小さい時、臨界Reynolds数が角度に依存しない値として導出されることが知られており、中間層に関しては臨界Reynolds数を考慮に入れた解析を行う必要があり、現在研究を進めている段階であるが、現在まではおおむね順調に進展していると言える。
Strategy for Future Research Activity	今後は線形化解析において残った箇所のスペクトル解析を行う。関連した方程式系の臨界Reynolds数との関連性を調査すると共に本問題における臨界Reynolds数を同定し、その臨界Reynolds数以下におけるスペクトル解析を行う。さらに線形化解析の結果を得ることができ次第、その結果を基に非線形解析を行う。また、上記の問題は非圧縮Navier-Stokes方程式に関してさかんに研究が行われているのに対して圧縮性Navier-Stokes方程式に対しては結果はまだ少ない。本研究で得られた知見を基に問題を圧縮性粘性流体への問題に拡張することも目指す。