tropical geometry, rigid analytic geometry and their applications to arithmetic geometry

2019 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18J21577
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 三上 陵太 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
• Project Period (FY): 2018-04-25 – 2021-03-31
• Keywords: トロピカル幾何 / Hodge予想 / Tate-Beilinson予想

Outline of Annual Research Achievements

本年度は，昨年度の結果をHodge予想に応用するために，複素射影代数多様体の特異ホモロジーからトロピカルホモロジーへの写像を構成した．構成のために，複素代数多様体の２倍次元の実代数多様体としての半代数集合のphaseトロピカル化を定義し，それが通常のトロピカル化のある扇構造の各開セル上で自明なファイバーになることを証明した．この写像がHodge類上で単射であることがHodge予想に等しく，今後複素幾何や微分幾何などの手法を用いてこの問題に取り組む予定である。
また，昨年度の結果を有限体上に拡張した。これにより，有限体上の代数的サイクルの数値同値に関するいくつかの予想をトロピカルコホモロジーのみの言葉で記述するができる．これは次が理由である：有限体上では代数的サイクルの有理同値と数値同値が等しいという予想（Tate-Beilinson予想）があり，これはトロピカルコホモロジーに対するPoincare双対性とほぼ等しく、この予想の下で代数的サイクルの数値同値類はトロピカルHodge類に等しい．今後、有限体上の代数多様体のトロピカル化のトロピカルコホモロジーを具体的に調べることで、Tate-Beilinson予想等にアプローチすることができると期待される。しかし、有限体上の代数多様体の一般のトロピカル化のトロピカルコホモロジーは、Poincare双対などのよい性質を満たさないことが知られており、そういった性質を満たす良いトロピカル化について調べることが課題である。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

Hodge予想等への応用のために必要な道具を用意することができなかったため。

Strategy for Future Research Activity

今後はHodge予想やTate-Beilinson予想などの解決に向け、複素数体と有限体上の代数多様体のトロピカル化についてそれぞれ研究を行う。複素数体上ではトロピカルコホモロジーとHodge類の比較のために、複素幾何的にトロピカルコホモロジーを記述することを目標とする。有限体上の代数多様体のトロピカルコホモロジーは非常に良い性質を満たすことが予想されており、実際にそのようなトロピカル化を持つことを示すためにトロピカル化を具体的に計算する手法を確立することを目標とする。