2020 Fiscal Year Research-status Report
保型多重L-関数と保型多重ポリログのアソシエーション
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18K03260
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
井原 健太郎 近畿大学, 理工学部, 准教授 (00467523)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | multiple L function / multiple zeta values / elliptic modular form / harmonic product / Mellin transformation |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では, 多重ゼータ関数の理論をモデルとして, 従来の保型形式に付随する L-関数の理論の「多重化」を構築することを目標にしている. その重要な課題 として, 保型多重L-関数 の正整数点における特殊値「保型多重L-値」の生成する代数「周期代数」の構造を決定する問題を考える. 本研究では, 多重ゼータ理論で大きな役割をもつDrinfeldアソシエーターと多重ポリログをモデルにして,「保型版アソシエーター」と「保型多重ポリログ」を新たに導入することで,「周期代数」の構造を解明しようと考えている.
本年度の研究実績として, 多重ゼータ値の調和積と相性の良い補間関数の多重メリン積分による表示を証明することができた. 近畿大学の中村弥生氏との近年の共同研究により, ある種の多変数有理関数の系列の多重メリン積分として多重ゼータ値やその補間関数が表示されることが予想されていた. 本年度において慶應大の山本修司氏の着想により積分の収束性部分が証明され, 定理として確立した. この結果については論文「Integral representation of interpolant of multiple harmonic sum」を中村氏と山本氏との３人共著論文として準備中である. また, 上記の研究を「調和積側」とすると「シャッフル積側」とみなせる多重ポリログ関数の多重メリン積分に関する研究を, 近畿大の石橋大生氏との共同研究として開始した. 多重ポリログ関数のメリン積分表示については結果が得られ, 石橋氏との共著論文が, 近畿大学理工学総合研究所紀要「Science and Technology」に掲載予定である. 保型形式の多重L値の研究では, こちらの「シャッフル積側」の結果が応用できるのではと期待している.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今までのところ1,2,3年目の研究計画に従って, 研究をおおむね進められている. 本研究に関連する他の研究者との議論や講演聴講を通して, 最新の研究内容や情報の収集, 関連理論の習得や新たな問題の模索などに役立てている. 本研究の課題である, 楕円保型形式のEichler積分の反復積分の導入, またその母関数の持つ性質の解明などはこれまでに得られている. さらに上述の通り最近, 種々の多重ゼータ値のもつ調和積に関する根本的で新しい積分表示を, 近畿大学の中村氏と慶應大学の山本氏との共同研究により得ることができた. その結果は, 令和3年2月に名古屋大学での研究集会「第14回ゼータ若手研究集会」において「New expression of multiple zeta values via multiple Mellin transform」と題した招待講演を行い, 有限多重ゼータ値の補間関数のメリン積分表示や今後の課題を専門家の前で報告することができた. この結果については共著論文「Integral representation of interpolant of multiple harmonic sum」 を中村氏と山本氏とで準備中である. また, その後の近畿大学の石橋氏との関連研究がスムーズに進展し, この結果が保型形式多重L関数の研究に直接的に応用できる可能性がある.
本年度は, コロナ感染症の影響を大きく受け, 研究集会等での研究者との直接的な交流には大きな制限があった. しかし研究講演や研究討議をオンラインや様々なデバイスを用いて行い, できる範囲での研究活動の継続に努めた. 例年行っていた, 専門家を招聘しての勉強会は実施できなかったが, 世話人を務めている「関西多重ゼータ研究会」をオンライン開催し, 多くの研究者からの最新の情報を収集することができた.
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| Strategy for Future Research Activity |
1つの研究として, 近畿大の石橋氏と最近研究を進めている多重ポリログのメリン積分表示と, 保型形式のL関数のメリン積分表示との比較を行いたい. これまで, 多重ゼータ値や多重ポリログの積分表示といえば, 反復積分を用いたものが中心と考えられていたが, 石橋氏との研究によりメリン積分型の表示が得られ, 反復積分表示との直接的な関係も解明されている. 一方, 保型L関数は保型形式のメリン積分としてそもそも定義される対象であり, 本研究の多重保型L関数も多重メリン積分を用いて多重化を行っている. 従って, 両者が比較し易い同じ土台に乗ったことになり, その比較から多重保型L関数の新しい研究方針が示唆されることを期待している. 多重ポリログのメリン積分では, 積分核となる関数が比較的簡単な有理関数であり, これが保型形式に相当する役割を果たしていると解釈できると考えている. 双方向へ新しい視点を見出せる可能性がある. また, 多重ポリログをさらに一般化した多重フルビッツポリログを導入し, そのメリン積分表示も検討したいと考えている.
別の研究として, 秋山・谷川アルゴリズムによるベルヌーイ数の計算方法に関連する2重数列の母関数に関する研究を行う. 関谷氏との研究で, このアルゴリズムに現れる2重数列の母関数がある偏微分方程式を満たすが, この結果に直接関連する研究を行っている研究者との議論により, さらに広いクラス で同種の偏微分方程式を満たす母関数と対応する数列が存在することが明らかになりつつある. この共同研究を進め, 共著論文を作成予定である.
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| Causes of Carryover |
コロナ感染症の影響で, 研究集会への参加旅費として計画していた経費, 研究者を招聘しての研究講演の依頼や勉強会の講師としての依頼のための経費, 研究集会実施にかかる研究実施補助者の雇いのための経費が執行できなかったために差額が生じた. 今年度は例年通りの, 研究集会への参加や, 集会の開催や招聘のために執行できると考えている. また, 昨年度に招聘予定であった講演者との研究討議なども実施予定であるため, 上記の申請額を申請している.
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Research Products
(2 results)
