2021 Fiscal Year Research-status Report
保型多重L-関数と保型多重ポリログのアソシエーション
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18K03260
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
井原 健太郎 近畿大学, 理工学部, 准教授 (00467523)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | multiple L function / multiple zeta values / elliptic modular form / harmonic product / Mellin transformation |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では, 多重ゼータ関数の理論をモデルとして, 従来の保型形式に付随する L-関数の理論の「多重化」を構築することを目標にしている. その重要な課題 として, 保型多重L-関数 の正整数点における特殊値「保型多重L-値」の生成する代数「周期代数」の構造を決定する問題を考える. 本研究では, 多重ゼータ理 論で大きな役割をもつDrinfeldアソシエーターと多重ポリログをモデルにして,「保型版アソシエーター」と「保型多重ポリログ」を新たに導入することで,「周期代数」の構造を解明しようと考えている. 本年度の研究実績として, 近畿大学のY. Nakamura Y. Kusunoki, H. Saekiとの共同研究として論文「Generating function of multiple polylog of Hurwitz type」を執筆し, 専門誌に投稿した。この研究は、Y. Ohno, D. Zagierによる多重ポリログの母関数が満たす微分方程式の研究を基に, 多重ポリログをHurwitz型多重ポリログへと拡張した結果である. また, 多重ゼータ値のある種の補間関数の積分表示を与えた研究（Y. Nakamura, S. Yamamotoとの共同研究）を進め, 論文「Integral representation of interpolant of multiple harmonic sum」を準備中である. また, 近畿大の石橋大生氏との共同研究として. 多重ポリログ関数のメリン積分表示についての結果が, 近畿大学理工学総合研究所紀要「Science and Technology」に掲載された. 保型形式の多重L値の研究として, 関連するF. Brownの最近の研究結果に関するセミナーを開き, 周期間の関係式やアソシエーターの構成に関する議論を行った.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今までのところ, これまでの研究計画に従って, 研究をおおむね進められている. 本研究に関連する他の研究者との議論や研究集会への参加を通して, 最新の研究内容や 情報の収集, 関連理論の習得や新たな問題の模索などに役立てている. 本研究の課題である, 楕円保型形式のEichler積分の反復積分の導入, またその母関数の 持つ性質の解明などはこれまでに得られている. さらに上述の通り, Y. Nakamura Y. Kusunoki, H. Saekiとの共同研究としてHurwitz型のポリログの研究成果を投稿することができた. また, 研究を継続している, 調和積と相性の良い種々の多重ゼータ値の積分表示に関する研究について, 共同研究者であるY. Nakamura氏, S. Yamamoto氏との研究会を12月に開き, 今後の研究指針を議論した. この結果については共著論文「Integral representation of interpolant of multiple harmonic sum」 を準備中である. また, 近畿大学のH. Ishibashi氏との関連研究がスムーズに進展し, 多変数ポリログのメリン積分表示に関する成果を得た. この結果については、論文を投稿中である. またこの結果の保型形式多重L関数への応用についても検討が進んでいる.
本年度も, コロナ感染症の影響を大きく受け, 研究集会等での研究者との直接的な交流には大きな制限があった. しかし研究講演や研究討議をオンラインや様々 なツールを用いて行い, できる範囲での研究活動の継続に努めた. また, 専門家を招聘しての勉強会を実施した. また, 世話人を務めている 「関西多重ゼータ研究会」をオンラインで継続して開催し, 多くの研究者との研究交流を通して情報を収集することができた.
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に得られた結果である, H. Ishibashi氏との研究成果を論文として投稿したいと考えている. この研究では, 多変数のHurwitz型ポリログを多重メリン積分として表示する方法を確立した. 今後の研究として, メリン積分の被積分関数として現れる多変数関数が満たすある偏微分方程式と, 多変数のHurwitz型ポリログとの直接的な関係について考察したいと考えている. そもそも保型L関数は保型形式のメリン積分として定義される対象であり, 本研究の多重保型L関数も多重メリン積分を用いて多重化を行っている. 従って, 多変数のHurwitz型ポリログと多重保型ポリログとの関係性や類似性を調べ, その視点から多重保型L関数の新しい研究方針が示唆されることを期待している.
また, 別の研究として, 秋山・谷川アルゴリズムによるベルヌーイ数の計算方法に関連する2重数列の母関数に関する研究を行う. 関谷氏との研究で, このアルゴリズ ムに現れる2重数列の母関数がある偏微分方程式を満たすが, この結果に直接関連する研究を行っている研究者との議論により, さらに広いクラス で同種の偏微 分方程式を満たす母関数と対応する数列が存在することが明らかになりつつある. この共同研究を進め, 共著論文を作成予定である.
さらに, 多重保型L関数の特殊値として現れる周期間の関係性について考察する. 従来のFricke convolution から得られる周期関係式を拡張して, Atkin–Lehner理論に現れるconvolutionとの関係について考察したいと考えている. 合同部分群のレベルによって多重保型L関数の周期間の関係式の量に大きな差が現れる. レベルの素因数の個数や平方因子を持つという性質が影響している可能性について調査予定である.
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症によって研究集会の対面実施が減り、また、研究者を招聘しての勉強会にも制限があるため、集会参加の旅費や謝金が予定通りに支出されていないことが原因である。一方、オンライン開催の集会での講演や、オンライン集会の主催などでは、機材や種々のデバイスを利用するため、研究費の一部をそれらに利用し、感染状況や社会の動きに合わせて、対面実施の集会にも出席し、研究者との議論や共同研究者との打ち合わせ、研究者の招聘などに使用する予定である。
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Research Products
(1 results)
