2019 Fiscal Year Research-status Report
Solving the smooth unknotting conjecture in dimension four
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18K03306
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
松本 堯生 大阪市立大学, 数学研究所, 特別研究員 (50025467)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鎌田 聖一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (60254380)
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ２次元結び目 / ２次元ブレイド / チャート図の変形 / マルコフ型定理 / ４次元トポロジー / 直交２ハンドル組 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２次元滑らか結び目解け予想は１助変数の方法で初等的に解けるのではないかと考えて始めたのが1999年の論文であり、４次元空間内の向き付け可能な曲面を２次元ブレイド、さらにチャートという平面内グラフによって表現する方法が研究分担者鎌田聖一氏によって開発されていた。知られている反例は向き付け不可能な曲面に対するものしかないので２次元ブレイドを使用する限りこの反例について考慮する必要がないのも利点である。
与えられた結び目と自明な結び目との間に交点を許した２次元結び目の１助変数族を構成することは簡単にでき、補空間の基本群の可換性から交点の生成・消滅がカスプによってのみ起こるようにできる。この１助変数族を２次元ブレイドの１助変数族に変換することはマルコフ型定理であって、研究分担者鎌田聖一氏との2017年の共著論文の手法をうまく用いれば可能である。交点は動かないとしてマルコフ型定理を適用するので、最後のカスプに対応するチャートでの変形つまりノードと端点の融合は別途強制的に行うことができる。このことによって、交点が２個以上ある場合に、２重点の逆像が２次元球面と区間の直積の中で絡まることは自然に避けられる。交点数を減らす部分までを定理とした報告を数理解析研究所講究録に発表しており、扱うべき対象は交点数１の単純ブレイドの１助変数族に限られる。
2019年度の計画は、ここまでの部分の証明を詳しく書いた論文を書き上げる予定であったが、最終段階で河内明夫氏の予想解決を主張するプレプリントが公開され、そちらのチェックに力を注ぐこととなった。アイデアの１つが直交２ハンドル組である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
これまでに得られた結果は本質的なところで図を使う場合が多く、執筆に手間と時間がかかっている。さらに予想が解決されたという河内氏のプレプリントが公開され、そのチェックが必要でありかつ重要であると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
幸い河内氏も参加するセミナーで証明のチェックを始めたところである。新型コロナでセミナーは中止しているが、再開もしくは適当な別法が可能と考えている。
この予想は重要であり、決着をつける研究にこのような形でも参加できることは大変有意義であると考える。
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| Causes of Carryover |
セミナー参加者の旅費に使用予定が新型コロナにより中止となった。今後もセミナーをなんとか開催し主として参加者等の旅費等に使用したい。
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