2019 Fiscal Year Research-status Report
Hubbard模型における磁性の安定性の厳密解析：作用素不等式によるアプローチ
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18K03315
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
宮尾 忠宏 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (20554421)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 強磁性 / 作用素不等式 / Hubbard 模型 / Heisenberg模型 / Liebの定理 / Nagaoka-Thoulessの定理 / ランダムループ表示 / 基底状態 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
強磁性に関する二つの重要な定理：Liebの定理，Nagaokaの定理を統一的に記述できる，数学的枠組みを明らかにした．この枠組みを用いることにより，Liebの定理とNagaokaの定理の環境に起因する摂動に対する安定性を調べた．特に，これらの定理が電子・格子相互作用及び電子・量子電磁場相互作用を考慮しても依然として成立することを経路積分法を用いることにより数学的に厳密に明らかにした．このような統一的な視点は，この分野の研究においてこれまでなされておらず，新しい研究領域を切り開くと期待している．これらの結果は論文として国際的な専門誌に掲載されている．
この統一的理論の背後にある数学を，量子情報的な観点から詳しく解析した．これにより，強磁性の安定性の背後にある基本的メカニズムを明らかにした．この研究の重要なポイントは，「安定性クラス」という言葉で記述される．同じ磁気特性の基底状態を持つハミルト二アンが持つ共通の性質を明らかにし，この性質を持つハミルト二アンをまとめて安定性クラスと呼ぶ．上記の研究では二つの安定性クラスの存在を明らかにした．Liebの定理及びNagaokaの定理はそれぞれの安定性クラスが持つ特徴である．このような現象の捉え方は，繰り込み群の描像と類似しており，更なる研究が期待される．これらの結果は論文としてまとめ，現在国際的な雑誌に投稿中である．
Nagaokaの定理の有限温度への拡張である，Aizenman-Liebの定理が，電子・格子相互作用及び電子・量子電磁場相互作用を含むような多体電子模型に対しても成立することを証明した．この定理の証明過程において，グラフ上のラプラシアンの生成する熱半群に対する経路積分表示および場の量子論における分配函数に対する経路積分表示に関する新しい結果を得た．特に，分配函数に関するランダムループ表示は今後更なる応用が期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
申請書に記載した目標をほぼ達成できたため．また，解析の課程において新しい研究課題が次々と見つかっており，更なる結果が期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
次のプロジェクトを計画している：１）強磁性理論の量子情報的視点による解析．２）ハバードハミルトニアンに関する分配函数のランダムループ表示を用いた解析．３）強磁性を記述する新しいメカニズムの提案．１）について，量子マルコフ性に類似の構造が投稿中の論文で指摘されており，この性質を更に深く解析していく．２）について，投稿中の論文において，分配函数のランダムループ表示を構成している．この表示を用いて，帯磁率の評価や２点相関関数の解析を行う予定である．３）は挑戦的な課題であり，１）で述べた新しいアプローチの結果を踏まえて詳細な解析を行いたい．
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| Causes of Carryover |
海外研究集会に出席するための旅費が，時期的な理由で予想より高額だったため．
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