Differential/difference algebraic properties of solutions of difference equations

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03318
• Research Institution: Yamagata University
• Principal Investigator: 西岡 斉治 山形大学, 理学部, 准教授 (10632226)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 差分方程式 / 超超越性

Outline of Annual Research Achievements

本年度は、昨年度に引き続いて1階有理的差分方程式の解が超超越的であるための条件を明らかにすることを目的として研究を行った。超超越的とは、いかなる代数的微分方程式の解にもならないという性質で、伝統的な用語である。今日では微分超越的という言い方もあり、そうでないとき微分代数的という。
本研究ではまず定数係数の場合について取り組んできた。乗法的差分方程式（q差分方程式）で定数係数の場合はRitt(1926)の研究があり、これは有理型関数に限定された議論ではあるものの参考になることが期待される。また、昨年度にはマーラー型差分方程式で定数係数の場合を扱った論文を発見し、精査した。この論文は特定の方程式について解が超超越的であることを証明する内容で、証明手法は大枠ではうまいやり方のように見える。
後者の論文について、昨年度に確認した証明の不備を解消すべく、本年度も様々な考察を行った。不備とは主要な定理の証明中に存在する場合分けの漏れであり、著者も論文中で言及しているものである。証明をより形式的に書き直して議論の流れを見やすくしたり、場合分けの漏れを回避することをねらって方程式の変形を試みた。
以上のような研究を行っている中で、異なる形ではあるが、ある種の1階有理的差分方程式について、その解の超超越性を捉えられる状況になってきた。これは非線形差分方程式であるため、既存のガロワ理論による線形差分方程式の解についての研究とは異なるものである。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

既存論文の証明を詳しく検証し、その不備を解消しようという過程において、有意義な結果が得られつつある。本研究はもともと広く1階有理的差分方程式の解の超超越性を対象としており、研究目的にかなう方向で前進していると言える。

Strategy for Future Research Activity

まず本年度に進展した方向で、ある種の1階有理的差分方程式の解の超超越性を証明する。その際、現在想定しているより一般的な形の方程式まで適用範囲を拡げたいと考えている。Rittの手法については、解析的に記述された部分の代数化を目指して吟味を続けたい。また、引き続き文献収集により古典的な手法を発掘・再評価する。