2019 Fiscal Year Research-status Report
Semiclassical analysis of sprectral and scattering problems on energy-level crossings
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18K03349
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
渡部 拓也 立命館大学, 理工学部, 准教授 (80458009)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | エネルギー交差 / 量子共鳴（レゾナンス） / 遷移確率 / 準古典解析 / 超局所解析 / WKB解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の主要な２つのテーマ：「エネルギー交差に係わる量子共鳴の準古典分布」及び「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」について、それぞれ、前者は藤家氏（立命館大学）Martinez氏（ボローニャ大学）、また後者はZerzeri氏（パリ13大学）と取り組み、昨年度の段階で得られつつあった結果を、論文として纏め、学術雑誌に投稿するに至った。
前者については、我々の先行研究の手法を適用するだけでなく、その手法だけでは不十分な部分を超局所解析的手法を新たに援用することで、解決した。一般に量子共鳴は、シュレディンガー作用素に対応する古典軌道のなす捕捉軌道によって特徴付けられるが、この研究では、連立系ならではの"擬捕捉軌道"といったもので特徴付けられることを明らかにした。また、上記の手法を、一般の擬微分作用素の枠組みで整理し直し、Proceedingsとして投稿した。
後者については、連立の時間依存シュレディンガー方程式の常微分版について、断熱パラメータのみならず、擬交差のギャップも小さなパラメータとした2パラメータ問題を考察した。遷移確率の断熱極限には、既存の結果が多く知られているが、2パラメータ問題として、断熱極限が破綻するほど擬交差のギャップが小さい場合の問題については未解決部分が多く、この研究では複数回擬交差が起こる場合の遷移確率について、ひとつの結果に至った。
また、帯状領域に制限された磁場付きシュレディンガー作用素の固有値の教磁場極限下における漸近挙動について、Dimassi氏（ボルドー大学）と取り組み、結果を得つつある。
さらには、特性指数が空間依存するようなあるフックス型偏微分方程式の特異初期値問題について、浦部氏（同志社大学）と取り組み、こちらも部分的な結果を得つつある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
おおむね順調に進展していると評価した理由は、本研究課題の主要な２つのテーマ：「エネルギー交差に係わる量子共鳴の準古典分布」及び「エネルギー擬交差間の遷移確率の断熱極限」について、それぞれ結果を得ることに成功し、特に昨年度は、様々な学会や研究集会において、その研究成果を発表する機会が得られたことである。
前者は、パリのポアンカレ研究所で行われた研究会や金沢大学で開催された日本数学会の函数方程式分科会の特別講演で発表し、また後者については、パリ13大学のセミナーや数理解析研究所での研究集会で発表した。
さらに、これらの研究結果は、新たな問題を提示し、その研究に係わっていくつかのプロジェクトが進行しつつある。前者関しては、共同研究者の藤家氏とAssal氏が、2重井戸に対応する２つの対称な単井戸ポテンシャルをもつ連立のシュレディンガー作用素を考え、固有値の分裂現象を解析した。これに触発され、いくつかの問題に取り組みつつある。また後者に関しては、擬交差のギャップが断熱極限が破綻するほど小さい場合の問題が解決に至ったことから、その手法を援用することで、変わり点の合流問題に向けた研究に取り組みつつある。
双方のテーマについて、研究課題として当初掲げていた課題をクリアし、次のフェーズに移行していることから、上記の評価に十分値する。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず、擬交差における遷移確率の断熱極限については、変わり点の合流問題の視点から、いくつかの問題に取り組む。ひとつは、現状未解決となっている退化した擬交差（接触交差）場合について考察する。これには、藤家-Mrtinez-渡部の「エネルギー交差に係わる量子共鳴の準古典分布」の研究で確立された手法が適用できる見通しがある。この研究により、４つの変わり点の合流過程に、より多くの自由度を与えたモデルを考察することが可能になるため、この問題をゴールに見据えて、研究に取り組む。
藤家-Assalの二重井戸に対応する連立のシュレディンガー作用素の固有値の分裂現象の結果を踏まえ、三重井戸に相当するポテンシャル構造をもつ連立のシュレデインガー作用素の固有値の研究に取り組む。単井戸の固有値と二重井戸の固有値との分裂現象については、どちらが支配的なのかなど、非常に興味深い問題を多く含む。これらについて、ベンチマークとなる三重井戸をもつ単独のシュレディンガー作用素の固有値問題を再考するところから研究を始める。
また、解決に至りつつある「帯状領域に制限された磁場付きシュレディンガー作用素の固有値の教磁場極限下における漸近挙動」の問題や、「特性指数が空間依存するようなあるフックス型偏微分方程式の特異初期値問題」について、論文に纏め、学術雑誌への投稿を目標とする。
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| Causes of Carryover |
主催する「偏微分方程式姫路研究集会（姫路市）」また参加予定であった研究集会「複素領域における函数方程式とその周辺（広島大学）」が、新型コロナウィルス感染拡大防止のため中止となり、これらに使用するため残していた研究費（自身の出張費や講演者・参加者の旅費補助）が不使用になったため、次年度に繰り越すこととした。
新型コロナウィルス収束の兆候は未だ見えていないが、上記「偏微分方程式姫路研究集会（姫路市）」を2021年3月に開催予定であるので、改めてこちらに使用する。
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| Remarks |
2020年3月4日～6日に開催予定でありました「偏微分方程式姫路研究集会」は新型コロナウィルスの感染拡大防止のため中止にしました。
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