2019 Fiscal Year Research-status Report
Integrable hierarchies related to Gromov-Witten invariants
| Project/Area Number |
18K03350
|
|---|
| Research Institution | Kindai University |
|---|
Principal Investigator |
高崎 金久 近畿大学, 理工学部, 教授 (40171433)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | ホッジ積分 / 位相的頂点 / グロモフ-ウィッテン不変量 / ヴォルテラ型階層 / 一般化KdV階層 / ゲリファント-ディキー階層 / 格子KP階層 / 同変戸田階層 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は昨年のホッジ積分の研究をさらに発展させることができた．昨年度の研究では特殊な3次ホッジ積分（2個の整数分割に依存する）の可積分構造としてヴォルテラ型可積分階層が現れることを見出した．今年度は中津了勇氏との共同研究において，一般的な（3個の整数分割に依存する）3次ホッジ積分を考察し，K.F.リュウらが2000年代半ばに位相的頂点の組合せ論的表示に関して立てた予想を証明した．なお，この予想に関しては，リュウらの提案の後かなり早い段階で，オクニコフとパンダリパンデが幾何学的証明を与えていた．
今回の研究では，ホッジ積分のフェルミオン表示とそこに内在する量子トーラス代数の性質を用いて，この予想を純粋に組合せ論的な方法で証明した．さらに，この証明の副産物として，ホッジ積分のパラメータが特別な値（離散系列をなす）に等しいとき，可積分構造としてKdV階層の一般化（ゲリファント-ディキー階層）が現れることを見出した．
この一般化KdV階層は3個の整数分割に依存するホッジ積分を2個の整数分割に依存する場合に帰着させる際に現れる．その意味で昨年の研究とは一見相容れない結果が得られたのであるが，その後の研究によって，ヴォルテラ型階層と一般化KdV階層はそれぞれホッジ積分の異なるパラメータ領域に現れることが明らかになり，見かけの矛盾は解消した．
これらの研究と並行して，リーマン球面の同変グロモフ-ウィッテン不変量とその可積分構造である同変戸田階層についても興味深い知見が得られつつある．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
フルヴィッツ数・ホッジ積分・位相的頂点の可積分構造に関する研究は研究開始当初の期待を上回る成果を上げることができたので，しばらく前からリーマン球面のグロモフ-ウィッテン不変量とそこに内在する可積分構造の研究に重心を移している．そこで注目しているのはオクニコフとパンダリパンデの2000年代前半の3部作の論文だが，その中でも同変グロモフ-ウィッテン不変量に関する論文は長大で，その内容の消化に多くの時間を費やすことになった．この解読作業を通じて彼らの研究の問題点に気がつき，新たな観点からこの題材に取り組んで一定の知見を得ているが，満足できる水準の成果を得るにはもう少し時間がかかる．
さらに当初計画では，研究の次の段階として，グロモフ-ウィッテン不変量に対するギヴェンタールの方法を学ぶことを一つの目標にしていた．T.E.ミラノフとH.H.ツェンはギヴェンタール理論をリーマン球面の場合に適用して，その可積分構造についてさまざまな成果を上げている．そこで，オクニコフとパンダリパンデの研究の検討と平行して，ミラノフとツェンの研究についても詳細に検討することが，新たな課題として浮上する．しかし本年度はオクニコフとパンダリパンデの研究の消化に時間がかかり，そちらに取りかかることができなかった．
|
| Strategy for Future Research Activity |
リーマン球面の同変グロモフ-ウィッテン不変量と同変戸田階層の関係をさらに追求する．オクニコフとパンダリパンデはこれらの不変量をフェルミオンの言葉に翻訳し，彼らがdressing operatorと呼ぶ作用素を用いて，同変戸田階層が現れることを説明している．しかしながら，彼らの研究におけるこの作用素の定式化には曖昧な部分が多い．最近この作用素に関して別の観点からもう少し明確な定式化ができることがわかった．このことを手がかりとして，オクニコフとパンダリパンデの研究を可積分階層の観点から見直す．
また，ミラノフとツェンの研究を題材として，ギヴェンタール理論を本格的に学ぶ．ギヴェンタール理論に基づいてグロモフ-ウィッテン不変量の可積分構造を説明することは孤立特異点の場合のギヴェンタール自身の研究に遡り，まもなくミラノフも加わってさらに発展した．そこでは可積分構造として一般化KdV階層やカッツ-脇本階層が現れる．その後，ミラノフによってリーマン球面のグロモフ-ウィッテン不変量の場合も扱われるようになった．現在ではミラノフと彼の共同研究者によって2点あるいは3点でオービフォルド化されたリーマン球面の場合にまで研究が進んでいる．リーマン球面の場合には，可積分構造として戸田階層とそのさまざまな変種が現れる．今後はこれらの研究から新たな手法や題材を学び，射影空間やグラスマン多様体のような多次元ファノ多様体への一般化をめざして，ギヴェンタール理論と可積分階層の関係を探る．
|
| Causes of Carryover |
今年度は5月に韓国を訪問して研究発表を行ったが，その際旅費と滞在費が先方負担となったため，当初執行を予定していた予算が不要になった．年度後半，特に年度末にかけての時期は，新型コロナウィルス肺炎の流行の影響でさまざまな研究会や学会が中止されて，相当額の旅費予算が執行できなかった．
次年度も当分はこの状況が続くと思われるが，状況が落ち着き次第，研究会や学会の参加のために旅費予算を執行したい．機会があれば，国外の研究会にも参加したい．また，現在研究用に使用しているノートパソコンの一つが古くなったので，新たなノートパソコンに更新し，必要なソフトウェアも購入したい．
|
