2018 Fiscal Year Research-status Report
Regularity for doubly nonlinear degenerate and singular parabolic equations and a geometric flow
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18K03375
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
三沢 正史 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (40242672)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | pソボレフ熱流 / 山辺熱流 / 二重非線形退化特異放物型作用素 / ソボレフ不等式 / 非線形固有値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Sobolev不等式の最良定数を定める体積制限条件付き極値問題を考える. この条件付き極値問題に対する勾配流をp-Sobolev流と呼ぶ.これは, porous medium型作用素とp-Laplace型作用素の混合した二重非線形退化特異放物型2階偏微分方程式の解として定まる. p=2の場合には, pソボレフ熱流は山辺熱流と呼ばれ, 山辺問題と呼ばれるスカラー曲率の等角(共形)変形に関する変分問題の勾配流である.平成30年度は以下の結果を得た:p-Sobolev流に対応する二重非線形放物型方程式に対する初期値境界値問題の弱解の時間大域存在を証明した(雑誌論文3つ目);p-Sobolev流の弱解の比較定理,正値性(弱ハルナック不等式),有界性および正則性(連続性, 連続微分可能性)を証明した(雑誌論文2つ目);本研究と関連する幾何学的方程式について以下の結果を得た:球面に値をとるp調和写像とその一般化の解析的特徴付け(雑誌論文4つ目);p調和写像熱流の初期値問題の部分的正則な弱解の時間大域存在(雑誌論文1つ目)
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の課題である,pソボレフ熱流の弱解に対する先験的評価を構築した(雑誌論文2つ目). 一方, 対応する二重非線形放物型方程式の弱解の大域存在を証明した(雑誌論文3つ目). 今後, 適当なスケール変換を見出して,存在を証明した二重非線形放物型方程式に適用し,pソボレフ熱流の弱解を構成し,その解を先験的評価にもとづき時間大域的に延長することができる.また,うまく機能するスケール変換を見出している.
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| Strategy for Future Research Activity |
pソボレフ熱流に変換するスケール変換を見出すとともにその数学的正当性を証明する. 解の時間無限大の集中現象を証明するために, 解の局所有界性を証明する.ソボレフ不等式の最良定数に関わる方程式であるので,Sobolev不等式の意味で臨界の非線形項を伴う二重非線形方程式の弱解に対する局所有界性を考える必要がある.解析的に工夫を要する.
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| Causes of Carryover |
(理由)
平成30年度後半(平成31年度3月)に外国人を招聘することになり,当初予定していた旅費よりも多くの旅費が必要となった. このため平成30年度10月に申請して前倒し使用を行ったが,結局,他大学科研費からの旅費の援助があり,残額が生じた.
(使用計画)
次年度31年度も引き続き当科研費研究課題に関する研究活動を行う.前年度残額を込めて有効に使用できる計画である.
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