2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K03404
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
阿部 吉弘 神奈川大学, 理学部, 教授 (10159452)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
薄葉 季路 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (10513632)
南 裕明 愛知学院大学, 教養部, 講師 (70646885)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Pκλ / イデアル / 分離基数 / 位相 / extendible 基数 / 強制法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Pκλに位相を入れ、コンパクト化する方法を考え始めた。κ=λ=ω1 の場合を参考にして極大フィルターとの関係等を考えているが、まだ有効な結果を得るに至っていない。
ω上のイデアルの構造的性質に関しては、分離基数に関する無矛盾性証明に成功した。ωの部分集合族 S が分離族であるとは、ωの任意の無限部分集合 X に対し、X ∩ Y とX-Y が無限集合であるような Y∈S が存在するときを言う。分離族の濃度のうち最小なものを分離基数といい、s で表す。ω上のイデアル I に対し、S が I 分離族であるとは、I に属さない任意の X に対し、X ∩ Y とX-Y が I に属さない Y∈Sが存在するときを言う。I 分離族の濃度のうち最小なものを s(I) で表す。ωの無限部分集合族 S が mad 族であるとは、S のどんな異なる元 X, Y を選んでも、X ∩ Y が無限集合ではないときを言う。Finite support 反復強制法を使って、ある mad 族 S から生成されたイデアル I に対して、s<s(I) が成り立つモデルを構成した。
関連分野では以下の結果が得られた。
非可算無限グラフの coloring number と chromatic number の比較を行った。
巨大基数については、generic な extendible 基数の無矛盾性は、本来の extendible 基数に比べてはるかに弱いことを明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
様々な方向から、いろいろな手法を試しているが、Pκλが包含関係により整列されていないことによる困難を克服できないままであり、やや遅れている。組み合わせ論的議論から離れて、Pκλに適当な位相を入れてコンパクト化を考え始めた。ω上の極大フィルターはコンパクト化と関連するので、多少の望みはあるが、手をつけ始めた段階である。ω上のイデアル、巨大基数など、関連分野でいくつかの結果が得られたのが救いである。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和４年度前半は、Pκλに位相を入れてコンパクト化することに注力する。うまくいかない場合は、これまでの組み合わせ論的議論をもう一度精査し、なんとか打開をはかる。コロナ感染状況も下火になりつつあるので、可能な範囲で、分担者始め集合論研究者と対面での議論を行いたい。
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| Causes of Carryover |
コロナ感染症による緊急事態宣言を受けて、研究打合せの為の旅費を使用できなかった。感染が下火になったので、次年度の研究旅費に支出する予定である。
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