2022 Fiscal Year Annual Research Report
Structural properties of ideals over P_{kappa}lambda and infinitary combinatorics
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18K03404
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
阿部 吉弘 神奈川大学, 理学部, 教授 (10159452)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
薄葉 季路 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (10513632)
南 裕明 愛知学院大学, 教養部, 講師 (70646885)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Ｐκλ / イデアル / 構造的性質 / 非定常イデアル / 正規イデアル / sup-function |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Pκλ上のイデアルの構造的性質の基本となる3概念、 P-ポイント、Q-ポイント、セレクティブイデアルを定義し、正規性、剛性等の観点から考察を行ってきた。κ上のイデアルの構造的性質は（BTW）Baumgartner-Taylor-Wagon (1982) により、ほとんど余すところなく調べられているのに対し、Pκλ上のイデアルについては、全く未解明と言ってよい状態である主な原因は、(κ,<) は整列集合であるが、(Pκλ,⊂)は整列集合ではないことである。この理論の建設が期待されていることは、Handbook of Set Theory (2010) でも言及されている。代表者も1990年代に試みて挫折を味わった者の一人である。
基本的指針は、BTW と同じ結果を証明することであるが、恒常集合（stationary set) 等で、κと Pκλでは異なる事象がいくつか知られている。
（弱）正規イデアルや飽和イデアル等、いくつかの場合では、Sup-function (x に sup(x)を対応させる関数) が1対1であるという条件を加えれば、κ上と同じことが成り立つことがわかった。一方、κ上の Q-ポイントは非定常イデアル（nonstationary ideal）を含むということで特徴づけられるが、Pκλ上の非定常イデアルは Q-ポイントではない可能性が高い。κ上では、セレクティブであることと、P-ポイントかつ Q-ポイントであることが同値であるが、Pκλにはセレクティブでも、Q-ポイントではないイデアルが存在するかもしれない。理論の基盤の3概念の妥当性は広く認められているようであるが、それらの関係についても謎が残ってしまった。
また、3概念の局所的なヴァージョン（local P-ポイント、weak selectivity 等）と強制法については、今後の課題である。
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