2020 Fiscal Year Annual Research Report
Basic research on quality assurance of numerical simulations by visualizing the regularity of solutions of differential equations
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18K03436
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
今井 仁司 同志社大学, 理工学部, 教授 (80203298)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤原 宏志 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00362583)
磯 祐介 京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 正則性 / 地図 / 爆発 / 非整数階微分 / ヘルダー連続 / 振動現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
爆発解を持つ非線形常微分方程式の解の数値正則性地図を求める手法を確立した。数値計算は丸め誤差の影響を排除するために多倍長演算を用いる。陽的ルンゲ-クッタ法で数値解を求め、有界化と数値極限で爆発時刻を求める。その後、初期時刻から推定された爆発時刻前後までの区間の解の滑らかさを、スペクトル選点法で調べる。その際、方程式が非線形であるのでニュートン法を利用する。厳密解が未知の場合を想定して、数値解同士の差を用いた誤差の収束状況を調べる。以上の数値手法をテスト問題に適用したところ、爆発時刻を高精度に求めることができ、推定された爆発時刻の手前までの区間で解析的な解の存在が数値的に示された。これらの数値結果を総合して、解の正則性を可視化した数値正則性地図を作成することに成功した。
ヘルダー連続解を持つ非整数階微分方程式の数値正則性地図を求めた。我々が提案したスペクトル選点法による非整数階微分の離散化法を適用し、多倍長演算を用いた膨大な数値実験を実施した。その結果、ある規則性が見出され、それを可視化して、ヘルダー指数と微分階数と誤差の収束次数の関係性を表す数値正則性地図を作成した。この地図から、精度のスパイク現象を発見し、非整数階微分作用素は階数が１未満と１以上では性質が異なることを発見した。
複雑な数値正則性地図のための基礎研究として、特異点(解析的でない点)が2つで、特異点における滑らかさが異なる1変数関数を調べた。滑らかさの特定には、スペクトル選点法の微分行列を用いて近似導関数を構成しそれを用いた。数値計算の結果、近似導関数のグラフに振動現象が見られ、特異点のみならず区間の端点でも激しい振動が起こること、局所平均による平滑化によって振動現象が局在化すること、近似次数が素数であるときの次数に関する平均化は振動現象の局在化を起こしにくいこと等、興味深い知見が得られた。
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