2023 Fiscal Year Research-status Report
Modern Mathematical Analysis for the Fluid Dynamics
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18KK0072
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
清水 扇丈 京都大学, 理学研究科, 教授 (50273165)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
柳沢 卓 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30192389)
筒井 容平 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40722773)
高田 了 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50713236)
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| Project Period (FY) |
2019-02-07 – 2025-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 関数解析 / 実解析 / 調和解析 / 微分幾何 / Navier--Stokes方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
小薗・清水は，3次元全空間における定常Navier－Stokes方程式の解の安定性を解析した．定常Navier－Stokesの解のスケール不変な関数空間でこれまでで最も広いベソフ空間（金子－小薗－清水 （Indiana U.,2019））の定常解に， 同じBesov空間で小さな初期擾乱に対する安定性を時間漸近レートとともに証明した．清水は小川との共同研究で，非圧縮性Navier－Stokes方程式の自由境界問題で，初期境界が平らな場合また傾きが小さなグラフで与えられる場合に，線形問題の最大L^1-正則性を用いて小さな初期流速に対し時間大域的解の一意存在を証明した．小薗は牛越, 若林と共同で非定常線形Stokes方程式の時間に依存する特異点の除去可能性を考察した．n次元空間内の有界領域内のStokes方程式の解が，時間に関して指数 0<α≦1/2のヘルダー連続の動的孤立特異点をもつとき，その特異点への漸近オーダーが 1/α -n よりよい挙動をするとき，それは除去可能であることを証明した．小薗は寺澤，若杉と共同で3次元空間内の無限円柱の外部領域における定常Navier－Stokes方程式の解の漸近挙動を考察した．解のクラスとしては一般化されたDirichlet積分有限，すなわち一階偏導関数がq-乗可積分であり，また鉛直方向には周期的であり，円柱座標系による旋回部分はゼロと仮定した．この条件下で渦度の円柱座標の動径方向の無限遠点における各点評価式を可積分指数qの関数として確立した．高田は江頭と共同で，3次元全空間においてCoriolis 力付き非圧縮性 Navier--Stokes 方程式の初期値問題に関して研究を行った．初期速度場に1次多項式の重み付き可積分性を仮定した際に，同方程式の時間大域解に対する時間減衰評価，および時間無限大における解の漸近挙動を導出した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元Euclid空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域において, 境界に接するものVrと直交するものXrの2種類のLr-調和ベクトル場を考察し,これらの調和ベクトル場の空間がすべての1<r<∞に対して共に有限次元であることを示すことができたため. 本研究の目的である3次元および２次元の調和ベクトル場の次元が有限次元であることと、調和ベクトル場のde Rham－Hodge－Kodaira型分解定理が証明され, 本研究の核の部分が完成しているため.
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| Strategy for Future Research Activity |
本年は以下の研究の実施を計画している．(1) Navier－Stokes方程式の解が最大L_p-正則性のクラスに属するときの初期値と外力に対する整合条件の同定 (2)凖地衡流方程式のスケール不変斉次Besov空間における解の一意存在の証明 (3) 3次元Euclid空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域における, 調和ベクトル場のde Rham－Hodge－Kodaira型分解定理を応用したNavier－Stokes方程式の定常解の安定性の証明．
コロナからほぼ平時に戻り，対面での国際共同研究の好機が訪れている．9月9日-11日には京都大学にて国際研究集会 "Fluids and Maximal Regularity" を開催する．最大正則性の創始の一人であるAmann教授，本研究の国際共同研究受入代表者のHieber教授，共同研究者のKunstmann教授, Maremonti教授，Danchin教授を招聘し講演を依頼し, 共同研究および情報交換を行う．筒井は, 8月に京都大学で "The 11th East Asian Conference in Harmonic Analysis and Applications" を開催する．本研究集会は，日中韓の調和解析関係者により毎年開催されているものである．Kakeya予想や maximal Bochner－Riesz平均はもとより，流体の方程式を含む様々な偏微分方程式への調和解析学を用いたアプローチの情報収集を行う．高田は5月にイタリアで開催される国際研究集会 "International Conference on Elliptic and Parabolic Problems: GAETA 2024" に参加し，Onsager予想および関連する非粘性流体方程式の数学解析について研究動向を調査する．
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| Causes of Carryover |
2024年9月9日から11日まで国際研究集会 "Fluids and Maximal Regularity" を京都大学理学研究科にて開催することとなった。著名な外国人研究者5名 Prof. Herbert Amann (Univ. Zurich, Switzerland), Prof. Matthias Hieber (TU Darmstadt, Germany) , Prof. Paolo Maremonti (Univ. Campania, Italy), Prof. Raphaell Danchin (Univ. Paris-Est, France), Prof. P.C. Kunstmann (Karlsruher IT, Germany)の招聘のため航空運賃の一部として使用する. また 8月に京都大学で開催される日中韓の国際研究集会 "The 11th East Asian Conference in Harmonic Analysis and Applications" の研究者招聘旅費として使用する.
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[Presentation] Generalized Taylor-Couette flow2023
Author(s)
Hideo Kozono
Organizer
International Confernce on Recent Advances in Nonlinear PDEs and Their Applications in Celebration of the 60th Aniversary of CUHK, The Chinese University of Hong Kong, 香港（2023/10/31）
Int'l Joint Research / Invited
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