2020 Fiscal Year Annual Research Report
Fourier coefficients and zeros of modular forms
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19F19318
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
PAUL BIPLAB 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2019-11-08 – 2022-03-31
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| Keywords | Hecke 固有形式 / 符号変化 / Siegel モジュラー形式 / Ramanujan-Petersson 予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
楕円モジュラー形式のフーリエ係数の符号変化と，フーリエ係数の非零性を結びつける方向で研究を進め，一つの成果を得た．これは古典的なLehmer予想に一つの進展をもたらすことが期待できる優れたものである．また，Balesh Kumar 氏との共同研究により，次数2以上のSiegel尖点形式のFourier-Jacobi係数のPeterssonノルムに関する，Ramanujan-Peterssonの予想について，尖点形式がHecke固有形式であり，Duke-Imamoglu-Ikeda リフトによる像である場合について考察した．他にも，二つの new forms を Hecke 作用素の固有値で区別するという，いわゆる重複度1の問題，また Siegel モジュラー形式に関する Ramanujan-Petersson 予想に関する研究について議論を行い一定の成果を得た．とくに重複度1問題については色々な側面からの成果を得ている．例えばCM型の二つの Hecke 固有形式に対し，素数べきで符号変化が無限に起こるような素数の密度によりCM体の区別がされるという結果などである. 別にAyyadurai Sankaranarayanan 氏との共同研究も進め，代数体のDedekindゼータ関数の零点の臨界領域における個数の評価，また，与えられた数以下のノルムを持つイデアルの個数を数える関数の漸近評価の誤差項の改良を更に進めた．関連して，Hecke 固有形式に付随するL関数 の対数微分の1での値の上から，および下からの評価についての成果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一つの研究目的である，ジーゲルモジュラー形式のフーリエ展開係数の数論に関する研究については，成果欄に記載のごとく，重要な成果を得ることが出来ている．また「同時符号変化」と「重複度１定理」との関連を進化発展させるという目的についても，多少方向性が変わってきているものの，概ね順調であると考える．一変数モジュラー形式の零点分布の研究や，それと重複度１定理との関連についてはこの年度についても進展はなかった．しかしながらL関数の対数微分の１での値という重要な対象についての成果など，研究の進捗状況としてはおおむね順調に推移していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
Balesh Kumar 氏やAyyadurai Sankaranarayanan 氏とは引き続きメールやズームでの議論を通し，共同研究を推進していく．また本来は，日本のモジュラー形式研究者との直接の交流を積極的に行い，彼らの手法を吸収しながら，自らの研究手法の拡大・深化に努め，また特別研究員の問題意識を共有することで，視野を広げ，新たな立脚点の発見に努めるというのが当初の方策であった． 具体的には早稲田高等学院の坂田裕氏や，東京工業大学の Soma Purkait 氏，獨協大学の小笠原健氏などのもとを訪れ，研究交流を行う予定であったが，一部を除いて，コロナの影響で実現しておらず，また今後も先が見通せない状況は変わっていない．当面はメールやズームなども活用しながら，主として受入研究者とともに共同でモジュラー形式の零点の研究，またジーゲルモジュラー形式のフーリエ展開係数の議論，研究，デデキントゼータ関数の零点に関する研究を行っていく．
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