2020 Fiscal Year Annual Research Report
曲線がなす距離空間におけるエネルギー勾配流の構成とその応用
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19F19710
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
岡部 真也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70435973)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
SCHRADER PHILIP 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2019-11-08 – 2022-03-31
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| Keywords | 幾何学的発展方程式 / 変分法 / 非線形解析学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度においては、弾性エネルギーに対するＨ２勾配流の時間大域可解性について肯定的な結果を得ることに成功した。Ｌ２勾配流などの場合、一般に、時間大域挙動はエネルギー法を基に詳細な評価を高階導関数まで与えることによって示されるものである。一方、本研究で扱うＨ２勾配流においては、そういった議論を経ることなく時間大域可解性を示すことが可能であることが当該年度の研究によって明らかとなった。Ｈ２勾配流はＨ２空間上の常微分方程式とみなせるため、Ｈ２空間内の議論で全て展開しなければならない。しかしながら、このＨ２空間は解である曲線の弧長パラメータを変数としてみなしたＨ２内積から定まる空間であるため、その完備性については一般には自明ではない。一方で、近年、そういったヒルベルト空間であっても、適切な距離を設定することによって完備となることが証明された。本研究で扱う問題においてもこの結果を活用することが可能であり、実際に、本研究においても適切な距離を定めたＨ２空間の完備性を活用して、時間大域可解性を示す際に一般に行われる議論と比較して簡潔な証明を与えることに成功した。これは、今後、幾何学的高階Sobolev勾配流を解析する上で様々な応用が期待される結果であると考えている。当該年度におけるもう一つの研究目標であった、定常解への完全収束については、未だ証明の完成には至っていない。しかしながら、今後の研究の推進方策で述べるように、研究の方向性は既に定まっており、次年度には肯定的な結果が得られるものと確信している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度においては、当該年度の研究目標の一つであった、弾性エネルギーに対するＨ２勾配流の時間大域可解性を示すことに成功した。特に、我々が与えた証明方法は従来のものとは大きくことなり、相当に完結なものである。これはＨ２空間に適切な距離を定めた距離空間が完備となることに起因しており、Ｈ２勾配流特有のものであると考えられるが、今後、様々な高階Sobolev勾配流を解析する上で重要な示唆を与える結果であると言える。一方、当該年度におけるもう一つの研究目標であった、定常解への完全収束についてはまだ結論が得られていない。解析の方向性は定まっており、解決に向けた議論は進行しているが、その完了には次年度までまたがる研究期間が必要であると予想される。以上を総合して、概ね順調に進展していると評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
弾性エネルギーにおける定常解への完全収束に関する研究の進度を加速させる。この問題の最大の難点は、対象とする幾何学的発展方程式の解である曲線は表示パラメータの取り替えが自由であるため、その自由度に起因する無限次元性が完全収束を示す際に必要となる勾配不等式の構成を阻害する点である。従来の研究では、その自由度を取り除くため、適切な変換を適宜行うという操作のもとで勾配不等式を証明し、解の完全収束を示している。我々の問題においてもそれは可能であるが、我々はそういった変換を施すことなく、勾配不等式を証明することが可能であると予想している。現在、その議論に既に着手しており、次年度において肯定的な結論が得られるものと確信している。加えて、本研究の将来的な発展を見据えて、様々な高階Sobolev流へと研究を展開すべく、新しい研究課題の発掘に向けて議論を開始する。それにより、研究開始当初の想定よりも本研究を発展させることが可能であると考えている。
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