2019 Fiscal Year Annual Research Report
Algebraic and combinatorial study of Schubert cells and Schubert varieties
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19F19715
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
田中 太初 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (50466546)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
XU JON 東北大学, 情報科学研究科, 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2019-07-24 – 2021-03-31
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| Keywords | シューベルト胞体 / アソシエーションスキーム / エルデシュ・コ・ラド型定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Schubert 胞体上の Erdos-Ko-Rado 型定理の確立を目指す本研究計画に於ける本年度の主要な目標は、Schubert 胞体上への Borel 部分群の作用から得られるアソシエーションスキームの指標表を計算することであった。2018年の渡邊悠太氏の論文の結果により、このアソシエーションスキームは基礎体を頂点集合とするクラス1のアソシエーションスキームの所謂一般化輪積となっており、従って一般化輪積の指標表に関する知られた公式を用いて計算する手はずであったが、このアソシエーションスキームの隣接関係の記述の部分に関して渡邊氏の論文に誤りがあることが判明した。Schubert 胞体に関する Smirnov の研究に於いて正しい記述が (異なる文脈で) 与えられていると思われるが、この証明も大雑把なものであった。Xu 氏は令和2年1月下旬から2週間程渡邊氏の下に滞在して集中的な議論を行い、厳密な証明を与えることに成功した。この成果については現在 Xu 氏と渡邊氏が共著論文を執筆中であるが、表現論の観点からも一定の価値のあるものだと思われる。なお、この成果を含むこれまでの研究について Xu 氏は令和2年3月にゲント大学の結合幾何セミナーやドイツでの国際研究集会で口頭発表を行う予定であったが、新型コロナウイルスの影響により残念ながらキャンセルとなった。アソシエーションスキームの構造が渡邊氏の論文で主張されていたものより複雑であったため、指標表の決定には新たなアイディアが必要となったが、プロジェクトとしては却って興味深いものとなったと思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前述の通り本研究計画は当初想定していた流れと変わりつつあるが、Schubert 胞体上のアソシエーションスキームの正しい記述を与えることができたことは意義深い成果である。また、これまではA型の枠組みで考えていたのであるが、Smirnov の仕事の理解を通してこれを将来的に他の型に拡張することも視野に入ってきたことは、本研究計画及びその後の共同研究の構想上重要である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究計画は坂内-伊藤の意味での代数的組合せ論と表現論・結合幾何との関連をより一層深めることを目指すものであり、次年度は関連した多くの研究テーマにも取り組みたい。新型コロナウイルスの状況によっては次年度も研究集会等への出張が大きく制限されることが予想されるが、必要に応じてテレビ会議システム等も積極的に活用し、渡邊氏を含む他の研究者との研究交流を進めていきたい。
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