2021 Fiscal Year Annual Research Report
Cohomology of locally symmetric spaces and Langlands functoriality
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19H01781
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
市野 篤史 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40347480)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | p進L関数 / p進保型形式 / p進Abel-Jacobi写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kartik Prasanna（ミシガン大学）と共同で、楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のＬ関数の研究を行った。特にＬ関数の関数等式の符号が負の場合に、Ｌ関数の中心微分値と代数的サイクルの関係を明らかにすることを目標として研究を行っている。量指標がイデアル類群の指標の場合、Gross-Zagier公式により中心微分値がHeegner点とよばれる代数的サイクルの高さを使って表せることが知られている。この公式は１９８０年代に証明され、今まで様々な場合に拡張されてきた。そのひとつがBertolini-Darmon-Prasanna公式であり、これはより一般の量指標に対してｐ進Ｌ関数の中心値を一般Heegnerサイクルのｐ進高さ、すなわちｐ進Abel-Jacobi写像を使って表すものである。この公式においては無限素点における関数等式の符号が負と仮定する必要があるが、本研究では無限素点における関数等式の符号が正の場合を考察する。この場合は状況が一変し、先行研究における代数的サイクルの構成を適応しても有限集合しか得られないため、適切な設定を与えることが大きな障害として残っていた。昨年度までの研究においては、２次Siegelモジュラー多様体上の代数的サイクルで２次ユニタリ群から定まるものが適切な設定を与えることが判明している。今年度はその研究をさらに推し進め、ｐ進保型形式の族のｐ進周期の計算を行った。特に、周期の公式にｐ進Ｌ関数に現れる修正Euler因子が生じることが確認できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のｐ進Ｌ関数の研究を、今年度の課題の中心に据えて研究活動を行った。共同研究者のPrasannaとは毎週オンラインでミーティングを行い、さらに今年度は１回対面で研究打ち合わせを行った。昨年度までの研究において２次Siegel保型形式が適切な設定を与えることが判明している。特に概正則保型形式の族とそれに対応するｐ進保型形式の族の構成は完了している。しかしこれらの周期について討論を重ねたところ、その計算に瑕疵があることが判明した。該当する計算はすべてやり直す必要が生じ、またその計算量も膨れ上がった。計算は無事に完了することができ、最終的には周期の公式にｐ進Ｌ関数に現れる修正Euler因子が生じることが確認できた。この因子はｐ進極限をとる際には必須であるため、計算の整合性を保証しているものと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のｐ進Ｌ関数の研究の完了を目指す。現時点でｐ進保型形式のｐ進周期の計算は完了している。研究を完了するためには、これをｐ進Abel-Jacobi写像と関連付ける必要がある。当初はBesserのColeman積分を使う予定だったが、状況がもう少し複雑になっていることも判明している。そこでFrobenius（の持ち上げ）の多項式ではなく、より一般の（具体的に与えられる）Hecke環の元を使うことで、ｐ進Abel-Jacobi写像の計算を目指す。
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