2020 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of loop spaces and representation theory
| Project/Area Number |
19H01782
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
加藤 周 京都大学, 理学研究科, 教授 (40456760)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 半無限旗多様体 / Schubert多様体 / Richardson多様体 / Borel-Weil-Bottの定理 / 量子ループ代数 / Frobenius分裂性 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き半無限旗多様体およびその放物版の基本的性質、例えば正規性やFrobenius分裂性などを整備しそれをもとに半無限旗多様体におけるRichardson多様体の対応物の正規性、Frobenius分裂性、高次のコホモロジーの消滅などを整備した。それにより放物型半無限旗多様体の同変K群も放物型でない場合と同様に定義できたと思える形になった。半無限旗多様体におけるRichardson多様体と旗多様体への種数$0$の$2$点つきの安定写像の空間との間の関係を確立した。これは量子コホモロジーの計算において重要ないわゆるGiventalのmain lemmaの(旗多様体の場合の)精密化と思うこともできる。最終的に、これらの成果を論文の形としてまとめ上げた。
また、半無限旗多様体の同変K群の構造を調べそれとaffine Grassmanianの同変K群の間には自然な関係があることを見出した。半無限旗多様体もaffine Grassmanianもいわゆる普通の意味での多様体ではない(代数多様体の帰納極限という形でしか書くことができない)ためにどちらの同変K群にも通常のK群と同様の意味での積構造は存在しないが、affine Grassmanianには融合積から導かれる積構造が存在する。そのため、この関係は我々の意味での半無限旗多様体の同変K群が非自明な意味で環になっているということを意味する。また、対応する旗多様体の同変量子K群と比較しようと考えたときにaffine Grassmanianを考える以外に半無限旗多様体を直接考えることに意味があると考える有力な証拠と思うこともできる。
他にも対称Macdonald多項式を加群論的に圏化する枠組みに関する研究などを行った。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度はコロナ禍のため海外出張が仮想的にしかできず、特に研究集中するまとまった時間が十分に取れなかったため正直期待していたほど研究ができなかった。ただ、それでも目標に向かって少しずつではあるが着実に進んでいる。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今年度もコロナ禍のためワクチンを打つまでは海外出張の目処がつかない。従って今年度の前半は後半以降に向けた準備期間と位置付け機材の整備や(文献学習やいろいろな計算、論文の執筆および改訂など)純粋な研究というよりは準備的(もしくは補助的)な要素の強いことを中心にしたい。
|
