2019 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of the space of all variations of mixed Hodge structure over complex manifolds
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19H01787
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
糟谷 久矢 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (80712611)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 竜司 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
藤野 修 京都大学, 理学研究科, 教授 (60324711)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 混合ホッジ構造の変動 / 非可換ホッジ構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
フィルター付された実（または有理)係数次数付き微分代数と２重フィルター付された複素係数次数付き微分代数とその間のquasi-isomorphismの組みによって定まる混合ホッジダイアグラムのSullivanの1-Minimal Model上には混合ホッジ構造の構成法がMorganによって与えられている(Morganの混合ホッジ構造)。このMorganの混合ホッジ構造は一意的でなく、多様な取り方ができ、その標準的な構成が課題となっていた。本研究では、混合ホッジダイアグラムのAugmentationを固定することによって、そのAugmentationに適合したMorganの混合ホッジ構造の構成法を与えた。さらにAugmentationに適合したMorganの混合ホッジ構造を備えたSullivanの1-Minimal Modelに対応する混合ホッジリー代数のMixed Hodge RepresentationのなすTannakian Categoryから定まる非可換ホッジ構造と、Augmentationを備えたMixed Hodge diagramの形式的な混合ホッジ構造の変動がなすTannakian Categoryから定まる非可換ホッジ構造の間には標準的な同型が得られることをホモトピー的手法によって示した。この応用として、コンパクトケーラー多様体のド・ラームードルボー２重複体のデルデルバーレンマによるフォーマリティー的議論によって、ファンクトリアルなMorganの混合ホッジ構造を構成し、それを用いて、ユニポテントな混合ホッジ構造の変動の明示的な表現を与えることができるようになった。これにより、コンパクトケーラー多様体の非可換ホッジ構造を複素多様体プラスアルファの不変量として定める新しい方法を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Unipotentな混合ホッジ構造の変動だけでなく、全ての混合ホッジ構造の変動について構成を与える計画であったが、ピュアなホッジ構造自体に関する問題からこの点は不完全である。
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| Strategy for Future Research Activity |
ここまでの研究で得られた、Mixed Hodge diagramのSullivanの1-Minimal ModelのMorganの混合ホッジ構造による非可換ホッジ構造の同型対応の拡張を考える。Mixed Hodge diagramの概念をピュアな非可換ホッジ構造に値を取るようなdifferential graded algebraの場合に拡張し、そこでのMoraganの混合ホッジ構造の構成法を拡張する。この理論をコンパクトケーラー多様体のUnipotentとは限らない全ての混合ホッジ構造の変動がなすTannakian Categoryから定まる非可換ホッジ構造の構成に応用することを考える。そのために、ピュアなホッジ構造の変動がなすTannakian Categoryから定まる非可換ホッジ構造をHarmonic bundleから定まるツイスター構造の見地から再構築し直す必要があるので、Higgs Bundle上のKobayashi-Hitchin Correspondenceを用いてこれを行う。さらにBirational幾何学やD-加群の理論を援用することによって、非コンパクトな代数多様体上のHarmonic bundleの漸近挙動を調べることによって、混合ホッジ構造の変動がなすTannakian Categoryから定まる非可換ホッジ構造の構成をコンパクトケーラー多様体からNormal crossing divisorの補集合となるような非コンパクト複素多様体に拡張する。
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