2019 Fiscal Year Annual Research Report

Study on quantum invariants via graphical calculus and its applications

Research Project

Project/Area Number	19J00252
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	湯淺亘京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(PD)
Project Period (FY)	2019-04-25 – 2022-03-31
Keywords	量子トポロジー / 量子不変量 / 色付きジョーンズ多項式 / 圏化
Outline of Annual Research Achievements	結び目図式に量子群の基本表現を乗せ, 図式の線形和で量子不変量を計算する線形スケイン理論を用いて, 不変量の具体的計算や, Andrews-Gordon 型の恒等式の導出や, 直交多項式の圏化を行った. 特に, リー代数 sl(3) の量子群と一行のヤング図形に対応する表現に関する研究を中心に行った. このような sl(2) 以外における線形スケイン理論の計算は未知なものが多く, この計算が出来るようになることで結び目の体積予想などの重要な予想や結果を一般化できると考えている. さらに, これらの公式から sl(3) の量子スピンネットワークにおける量子 6j シンボルなど値を計算することができる. これらの値は曲面の写像類群の量子 sl(3) 表現の研究などに応用できる. sl(3) における Extremal ウェイト射影子を構成し, 2 変数 Chebyshev 多項式の圏化を行った. この仕事は, 新たな直交多項式の系列の線形スケイン理論を用いた圏化への一歩である. 結び目の量子不変量の計算においては, 新たな full twist 公式を導出した. この full twist 公式は sl(3) の色付きジョーンズ多項式を具体的に計算する際に役に立つ. また, その極限である sl(3) の tail から Andrews-Gordon 型の恒等式を求める際にも非常に重要な役割を果たす. 実際に, (2,2m)-トーラス絡み目の sl(3) に関する tail をこの公式から得た. これは sl(3) false theta 関数の Andrews-Gordon 型の恒等式における "和" サイドの公式である. 今回は一行のヤング図形に対応する表現を扱ったが, 一般の表現に関する full twist 公式の導出でも必要となるものである.
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason sl(3) の線形スケイン理論において, 一行のヤング図形に関する計算公式を求めた. sl(2) において既に知られている有用な計算公式に対応するものを sl(3) においておおむね得ることができた. そして, これらの公式を用いて結び目の sl(3) 色付きジョーンズ多項式の具体的計算が出来ることを簡単な例で確認した. さらに, これらの計算結果について数論の研究者とのメールでの研究連絡などを行うことで, 今後の研究へ新しい方針も得ることができた. 特に (2,m)-トーラス絡み目の sl(3) ジョーンズ多項式の公式をから Andrews-Gordon 型の恒等式の "和" サイドも得ることができた. もう一方の "積" サイドに関しても, 現在, 量子スピンネットワークの手法を用いて計算を進めており, そのほとんどが完成している. 直交多項式の圏化については, sl(3) の線形スケイン理論において Extremal ウェイト射影子を構成することで, 2 変数の Chebyshev 多項式の圏化を行った. sl(3) の線形スケイン理論における公式の導出は順調であり, その応用も予定通りに行えている. ただし, 曲面の写像類群の量子表現や量子計算への応用については研究の道具は揃っているがまだ研究に取り組めていない.
Strategy for Future Research Activity	主に本研究の研究計画書の内容に沿って研究を進める. これまで研究を進めるうちに sl(3) の計算公式を用いることで, 研究を計画していた当初より数多くの研究が行えることが分かってきた. よって, 今後は一般の sl(N) の計算公式の導出よりも, sl(3) の計算を用いて行える応用により重きを置いて研究を進めていく. また, sl(2) においても未だに計算されておらず数論の研究者が興味を持っている例などもあるので, それらの具体的計算も進める. 今後は, 新型コロナウイルスの影響により予定していた海外出張などの多くがキャンセルとなることが予想される. そのため, 情報収集よりも自身で研究を深化させる目的で予算を用いて研究を進める.