2019 Fiscal Year Annual Research Report
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19J21085
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
河上 龍郎 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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2019-04-25 – 2022-03-31
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| Keywords | Bogomolovの消滅定理 / Kawamata--Viehwegの消滅定理 / ファノ多様体 / del Pezzo曲面 / F分裂多様体 / 大域的F分裂多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コホモロジーの消滅定理は，代数多様体を研究する上で基本的かつ重要なものである．しかし，正標数においては，小平の消滅定理をはじめとする消滅定理が一般に成立しない．今年度は，いくつかの正標数の代数多様体におけるコホモロジーの消滅定理に関する研究を行った．
まず，滑らかな三次元射影的大域的F正則多様体上でBogomolov型の消滅定理を示した．これにより標数が5以上の三次元大域的F正則多様体の余接層に含まれる直線束の飯高次元が1以下になることがわかる．
次に，滑らかな三次元ファノ多様体に関しBogomolov型の消滅定理を示した．その結果，Kawamata-Viehweg型の消滅定理を証明した．元々，Shepherd-Barronにより滑らかな三次元ファノ多様体上で小平の消滅定理は示されていたが，この証明にはギャップがあった．今回の研究で与えた証明は，上記のBogomolov型の消滅定理の研究の際の考察を加えることで，そのギャップを埋めている．さらに同様の手法により，del Pezzoファイブレーションにおける小平の消滅定理を示した．これはPatakfalviとWaldronによる結果の拡張となっている．
最後に，del Pezzo曲面におけるKawamata--Viehwegの消滅定理を示した．Casini-Tanaka-Witaszekは，十分大きい標数でlog del Pezzo曲面がKawamata-Viehwegの消滅定理が満たすことを，Casini-Tanakaは標数が2では標準特異点というマイルドな特異点を持つdel Pezzo曲面でさえKawamata-Viehwegの消滅定理が成立しないことを示した．これらを踏まえ，標数が2でなければ標準特異点を持つdel Pezzo曲面上でKawamata-Viehwegの消滅定理が成立することを示した
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
F分裂多様体はコホモロジーの消滅の観点から性質の良いクラスである一方，余接層をはじめとするベクトル束の消滅定理はあまり知られていなかったが，本年度の研究で余接層に関するいくつかの新しい結果を得ることができた．
また，約20年前に示された三次元のファノ多様体における小平の消滅定理はその証明にギャップがあったが，新しい考察を含め再証明することで曖昧な部分を解消できた．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では，今年度の研究により得られた消滅定理の応用を試みる．特に曲面でのBogomolov型の消滅定理は，変形理論に有用であり，混標数へのリフトなどを考えることで興味深い結果を導くことを目標とする
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