2020 Fiscal Year Research-status Report
moduli space of connections and the generalized isomonodromic deformation
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19K03422
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
稲場 道明 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80359934)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | モジュライ空間 / 接続 / 一般モノドロミー保存変形 / シンプレクティック形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.分岐不確定接続のモジュライ空間上の一般モノドロミー保存変形の構成
分岐不確定接続のモジュライ空間はBremerとSageによって、射影直線上の自明束の上で構成されていた。研究代表者によって一般種数の場合のモジュライ空間の構成を与えたプレプリントを出していたが、定式化の一部に不備があり、修正を行った。この修正も踏まえた上で、分岐不確定接続の分岐パラメーター作用の行列式分解のアイデアによる再定式化を行い、分解分岐不確定接続のモジュライ空間の構成をした。これにより、モジュライ空間上のシンプレクティック構造における双対性質をより明快に理解できるようになった。
射影直線上の自明束の上の一般モノドロミー保存変形はBremerとSageによって構成されたが、これを一般種数代数曲線上の分岐不確定接続のモジュライ空間上に拡張した。一般モノドロミー保存変形の構成には、モジュライ空間上の分岐接続の普遍族の平坦持ち上げを構成するアイデアを用いる。構成は代数的で大域的なものであるが、その根拠は神保・三輪・上野理論におけるストークスデータ保存条件の書き換えに基づいている。このプレプリントは完成間近で、近日中にarxivに出す予定である。
2. フレーム付き確定接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式と大域的代数関数についての研究
Biswas氏と光明氏、齋藤氏と共に、フレーム付き接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式の構成と、特に閉形式であることに関する共同研究を行い、ほぼ完成状態にあった。これと一緒に放物接続のモジュライ空間上の大域的代数関数全体の超越次数がモジュライの次元よりも小さいことの証明を試みていた。種数が低い場合には詳細の確認が必要だが、種数2以上については完成し、概要をComptes Rendusに掲載予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分岐不確定接続のモジュライ空間上の一般モノドロミー保存変形の研究については、既にプレプリントに出していたモジュライ空間の定式化の不備に気づいたのは予定外のことであったが、これについては速やかに的確な修正を行うことができた。分解分岐接続のモジュライ空間を、分岐パラメータ作用の行列分解のアイデアで記述し直す議論や、平坦持ち上げのアイデアで一般モノドロミー保存変形を構成する議論を精密に書くことができている。解析的な局所一般モノドロミー保存変形もより深く考察に基づいて説明を書くことができて、全体として完成度の高いものとすることができた。3月のTATA研究所主催のオンライン研究集会でも本内容を講演することができ、概ね順調に研究を進めることができた。
フレーム付き確定特異接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式と大域的代数関数に関する、Biswas氏、光明氏、齋藤氏との共同研究については、コロナ禍のためもあってか、研究打ち合わせ機会が減ってしまい、未開拓部分の研究の進展はあまりなかった。ただ、概要をまとめる方向の打ち合わせは順調に進み、Comptes Rendusに掲載予定とすることができたので、全体としては研究は進んだと言える。
今年度は、コロナ禍による研究交流の機会は減少してしまった、また学期期間中の授業業務の増大などにより、研究へ割く時間の目減りの影響はあった。その結果論文原稿を書くペースはやや遅くなってしまったが、在宅勤務が増えたこともあって、研究に時間を割く際は、自分のテーマに思考を集中させることができた。その結果、論旨を正確にして議論を精密化することによって論文原稿の完成度を高めることができ、今後の研究を見通し良くする方向にすることもできたと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、分岐不確定接続のモジュライ空間上の一般モノドロミー保存変形の構成と、分解分岐接続によるモジュライの記述に関する論文を精密な形で早期に完成させ、公表していく予定である。開催可能かわからないが、予定されている研究集会での発表の機会が実現されれば、結果内容を伝えていきたい。
岩崎氏と齋藤氏との共同研究において、射影直線上4点確定接続のモジュライ空間をファイ接続のモジュライ空間によって非特異コンパクト化を与えていた。これは坂井理論のハルフェン曲面、または齋藤氏の理論における岡本・パンルべ対を復元していた。不分岐不確定接続の場合、非特異コンパクト化をモジュライ理論的に構成する研究を宮崎氏によってなされていて、興味深い発展性のあるテーマだったと思うが、その後止まったままであった。分岐不確定接続の場合に拡張しようと思って、放物構造にそのまま固執するとうまくいかなそうだが、分解不確定接続のモジュライのアイデアを用いて、宮崎氏の結果の読み替えに成功することができれば、分岐不確定の場合も道が開けそうだと考えている。今後はこの研究を進めて、坂井理論で現れるハルフェン曲面の中で、連続パンルべ方程式の初期値空間のコンパクト化となっているものを、すべて接続のモジュライ空間のコンパクト化として実現することを目指したい。
フレーム付き接続のモジュライ空間上のシンプレクティック形式と大域的代数関数に関する、Biswas氏、光明氏、齋藤氏との共同研究については、まずシンプレクティック形式の部分の原稿を完全なものとしたい。大域的代数関数に関する議論においては、未開拓部分にこだわり過ぎていた部分もあったが、条件を少し強めて簡略化する方向で同意を得ており、共同研究を完成の方向に持って行けそうな見込みである。
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| Causes of Carryover |
9月にインドのTATA研究所における研究集会への参加を予定していたが、コロナ禍で実施不可能となった。その他国内外の研究集会がすべてオンラインとなったため、出張旅費を使用する機会が全くなくなり、当該年度に請求した助成金を使うことができなかった。
コロナ禍が収まれば各種研究集会の対面実施が復活の予定で、出張旅費が必要となる見込みである。また、研究テーマに関わる分野が代数解析、代数幾何、複素幾何などの多岐に渡り、自分の研究にとって要となりそうな文献については、書籍の購入費を必要とする見込みである。
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