2020 Fiscal Year Research-status Report
Symmetric unions and essential surfaces
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19K03465
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| Research Institution | Gifu University |
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Principal Investigator |
田中 利史 岐阜大学, 教育学部, 准教授 (60396851)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 結び目 / 対称和 / 曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，結び目の対称和の特徴づけ及び分類を行うことである。結び目の対称和は，1960年代から研究が盛んに行われている結び目コボルディズムの分野において重要な研究対象であるリボン結び目の例である。
3次元多様体の位相的研究において，内部の曲面の幾何学的性質を用いて，多様体を特徴づけることは，基本的かつ重要な問題である。特に3次元球面内の1次元多様体である結び目に対して，その補空間に埋め込まれた曲面の条件より，その性質を考察することは重要である。
当該年度は，対称和がサテライト結び目の場合において，最小ねじれ数が1である場合に，その補空間に互いに平行でない圧縮不能トーラスが少なくとも2つ存在し，その結果を用いると最小ねじれ数が2以上である対称和の存在が示せる，という結果を国際的査読有雑誌「Osaka J. Math.」に投稿し令和3年度内での出版受理を得た。
一方で，対称和が絡み目の場合にねじれ数が3以上の対称和の存在を示すことができるか，について考察した。まず，絡み目が対称和の場合，各成分が対称和となることを示した。この結果より，対称和とその成分の最小ねじれ数の間の不等式を示すことができ，特に最小ねじれ数がいくらでも大な対称和の存在を示せた。また，得られた不等式の等号が成立しない例を求めることができた。一方で対称和の部分結び目の一意性についても考察した。部分結び目が一意的でないことはすでに知られているが，異なる部分結び目を持つ合成結び目である対称和の無限族の存在を示した。これらの結果については，2020年9月に大阪市立大学主催でオンラインで行われた研究集会「拡大KOOKセミナー 2020」で研究発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度は，まず対称和がサテライト結び目の場合の研究に関する結果を，国際的査読有雑誌「Osaka J. Math.」に投稿し出版受理を得ることができた。絡み目が対称和の場合，各成分が対称和となることを示した。この結果より，対称和とその成分の最小ねじれ数の間の不等式を示すことができ，特に最小ねじれ数がいくらでも大な対称和の存在を示せた。また，得られた不等式の等号が成立しない例を求めることができた。その結果について，2020年9月に大阪市立大学主催でオンラインで行われた研究集会「拡大KOOKセミナー 2020」で研究発表をすることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度は，対称和が絡み目の場合に対して，その補空間の曲面の性質を調べることで研究を行い，特徴づけを行うことができた。また，対称和表示の研究について結果を得ることができた。今後は，前年度の研究を発展させることにより，リボン絡み目と対称和の関係や，対称和表示の一意性に関する研究を推進したいと考える。
また，対称和はリボン円板と呼ばれる，リボン型特異点集合のみをもつ特異円板の境界となる。この特異曲面と結び目の補空間の曲面の交わりを考えることで，結び目の対称和の幾何学的性質の研究を行いたいと考えている。
2000年のLamm の論文で与えられた問題「すべてのリボン絡み目は対称和であるか」を解決するためには，対称和の張るリボン円板の特殊性を精密に調べる必要がある。これについて関連する最新の論文等にあたり研究を進めていきたいと考える。
以上の研究から，本研究課題の核心をなす問題である「すべてのスライス結び目は対称和であるか。」について答えを得ることが目標である。
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