2020 Fiscal Year Research-status Report
Study of discrete geometric analysis using numerical analysis and computer graphics
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19K03488
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
内藤 久資 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (40211411)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 離散幾何解析 / グラフ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
カーボンナノチューブに規則的な欠陥と窒素ドープを導入した構造を合成した磯部研究室とともに，規則的な欠陥と炭素以外のドープ原子の位置に指数（インデックス）を与える規則を考察した． カーボンナノチューブに欠陥等を導入した複数の物質が同一であるかを判定するためには，欠陥等の位置を一意に指定する指数が必要となるが，カーボンナノチューブは回転対称であるため，その「原点」を指定して指数を決める必要がある．そのため，カーボンナノチューブを１方向のみに周期的な３分岐グラフと考え，離散幾何学的考察により適切な「原点」を指定することで指数を定義することができた．また，この研究では，ウェブ上のアプリケーションも同時に開発し，グラフィックスを用いて用意に原点の計算および指数の計算が可能になるようにした．
３分岐離散曲面の細分列の収束を研究した．従来の研究では３分岐抽象グラフを３次元ユークリッド空間に埋め込むために「標準実現」を使っていたため，位相的結晶に対応する３分岐離散曲面以外に細分列を構成することができなかった．そのため，一般の細分ではなく特殊な細分のみを対象とし，埋め込み方法としてバランス条件を用いることにより，フラーレンをモデルとした結晶構造には対応しない３分岐離散曲面に対しても細分列を定義し，その収束を考察した．その結果として，有限もしくは周期的なグラフ構造に基づく３分岐離散曲面の細分列は，ハウスドルフ位相に関してコーシー列をなすこと，およびそのエネルギーは有界であることを示した． この結果はすでに論文は受理されている．
一方，立方格子・ダイヤモンド格子などと関連する共連続構造に関する研究を行った． この研究は現在も継続中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
３分岐離散曲面の収束理論に対して，一定の結果を得ることができた．
また，共連続構造の解析に関しても，十分な目処が立っている．
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| Strategy for Future Research Activity |
共連続構造の解析に関して，コンピュータグラフィックスを援用して解析を行うが，他の研究者との対面での研究打ち合わせが困難であるため，効率は非常に悪いがリモート会議ツールを利用した研究打ち合わせを行って研究を進める．
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| Causes of Carryover |
２０２０年度は，コロナ感染症の影響により，国内外の研究集会への（オンラインではない）出席ができなかったため，旅費として計上した所要額が大幅に余った．２０２１年度には，研究集会の現地参加および対面での研究打ち合わせを行う予定である．
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