2019 Fiscal Year Research-status Report
ゲージ理論からの無限次元力学系とホモトピー論による低次元多様体の不変量
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19K03493
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
笹平 裕史 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (30466825)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Seiberg-Witten方程式 / Floer理論 / ホモトピー理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に、第一Betti数が正の３次元多様体に対するSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の構成に関して研究した。Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型は３次元多様体の不変量で、CW複体の安定ホモトピー型として定義され、そのホモロジーを取るとKronheimer-Mrowkaによって導入された Floerホモロジー（やその変種）を再現するものである. 以前の研究では、Kronheimer-MrowkaのFloerホモロジーをある局所系で捻ったものに対応するFloer安定ホモトピー型の構成を行った. 本研究では Kroheimer-MrowkaのFloerホモロジーそのものに対応するFloe安定rホモトピー型の構成を目指している. Seiberg-Witten-FloerホモロジーはSeiberg-Witten方程式が定義する無限次元多様体上のMorseホモロジーとして定義される. Floer安定ホモトピー型はその無限次元力学系を有限次元近似し, Conleyの理論を適用することによって得られる. ３次元多様体の第一Betti数が0の場合は Manolescuがその構成を行った. 第一Beitti数が正になると, その力学系の有限次元近似をうまく取ることが技術的に難しくなる. 今年度は T. Khandhawit氏 (OIST) や M. Stoffregen氏(MIT) と議論を行いながら、よい有限次元近似の取り方を明らかにした.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の構成の最も技術的に困難な部分は、Seiberg-Witten方程式が定める無限次元力学系のよい有限次元近似をとるところであるが、今年度の研究によりその困難が解決された。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では、主に、Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型のwell-defined性 (構成する際に選んだ付加的データに依存しないこと) や Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型から３次元多様体の種々の不変量の定義を定義し応用を研究する. 今後もT.Khandhawit氏やM. Stoffrengen氏とメールやskypeを通して議論を行う。また、 必要に応じて、お互い訪問して研究を進めていく.
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス感染拡大のため、参加予定であった研究集会が延期となり剰余金が発生した。その研究集会は来年度開催される予定であるため、その剰余金は来年度その研究集会に参加のために使用する。
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