2021 Fiscal Year Research-status Report
Extended knots and their invariants
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19K03496
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| Research Institution | Nagoya City University |
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Principal Investigator |
鎌田 直子 名古屋市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60419687)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 結び目 / 仮想結び目 / 不変量 / 溶接結び目 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2021年度は仮想結び目の不変量の研究を行なった。古典的結び目ダイアグラムの各アークにはあるルールにそって番号付けができる。その番号付けをAlexander numberingと呼ぶ。しかし、仮想結び目ダイアグラムは常にAlexander numberingを持つとは限らない。Alexander numberingを持つ仮想結び目ダイアグラムをalmost classicalと呼ぶ。Goeritz不変量は仮想結び目ダイアグラムに対応している2種類のalmost classical仮想結び目ダイアグラムを用いて2種類定義される仮想結び目の不変量である。2021年度はこれらのGoeritz不変量のうち1つがある種の変形で不変となることを明らかにした。この不変量は溶接結び目の不変量でもある。
仮想結び目にoriented cut pointを付随させることによってAlexander number付可能となるが、このようなoriented cut pointの集合をcut systemと呼ぶ。 このcut systemとSatohとTaniguchiによって導入された仮想結目の不変量であるn-writheの関係を明らかにした。この関係からAlmost classicalな仮想結び目のn-writheは0であることを示すことができる。また、mを法とした剰余類でAlexander number付可能性な仮想結び目ダイアグラムをmod m almost classicalな仮想結び目ダイアグラムというが、mod m almost classicalな仮想結び目のn-writheはmを法として0となることも示すことができる。
さらに仮想結目ダイアグラムのincoherent double coverはalmost classicalなダイアグラムとある種の同値関係があることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
拡張結び目に対して幾何的構造の究明、不変量の性質の解明、不変量を含めた新たな研究手法を確立することが本研究の目的であり、さらに古典的結び目や2次元結び目の解析に拡張結び目を応用した解析手法を構築することも本研究の目的の一つである。 昨年度はGoeritz行列から導かれるtorsion 不変量が溶接結び目の不変量であることを示したが、溶接結び目ダイアグラムは2次元結び目であるリボントーラス曲面結び目に関連している。
本年度はそのGeoritz不変量の性質について成果が得られた。また仮想結目の不変量であるn-writheにcut systemを利用した定義を与え、n-writheの性質に関する結果も得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
拡張結び目に対して不変量を含めた新たな研究手法を確立すること、古典的結び目や2次元結び目の解析に拡張結び目を応用した解析手法を構築することが本研究の目的である。2019年度は拡張結び目の1つである仮想結び目の研究を行った。仮想結び目からalmost classical仮想結び目への写像を定義した。この写像から仮想結び目の不変量であるGoeritz不変量を定義した。 2020年度は仮想結び目と溶接結び目の不変量の研究を行い、Goeritz不変量が溶接結び目の不変量となっていることを示した。2021年度はこのGoeritz不変量の特徴に関して結果を得られた。また、Alexander numberingとも関係するcut systemによってn-writheが得られることを発見するなど、不変量の特徴について成果を得られた。これらの成果の発展と応用を試みるとともに、 拡張結び目に対して幾何的構造の究明、不変量 の性質の解明、結び目や曲面結び目の研究への応用を目指す。 また多くの拡張結び目について不変量の計算を行いその特徴についても調べる。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス流行の影響で出席予定であった研究集会が中止となり、出張に出ることができなかった。本年度は研究集会、研究打ち合わせなどの出張、発表準備に使用する。
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