2021 Fiscal Year Research-status Report
The theory of weights, evolution and refinement
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19K03510
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| Research Institution | Tsukuba University of Technology |
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Principal Investigator |
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 加重の理論 / Hausdorff content / L^p空間 / Orlicz-Morrey空間 / 共役空間 / sparse作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
荷重の理論は、作用素の荷重付ノルム不等式を統制するための理論です。それは、作用素の値域に関する情報を陽的に示すことのできる理論です。本研究では、いくつかの作用素について荷重の理論の進化と精密化とを企図しています。
Lebesgue測度に変えてHausdorff contentという量により定義されたL^p空間の共役空間の理論は、D. R. Adamsの基本的な論文“Choquet integrals in potential theory”Publ. Mat., 42 (1998), no. 1, 3--66において展開されています。この論文において、基礎付けとなる一つの共役不等式に証明の不備を発見し（不備であることの反例を示しています）、改めてその証明を与えることに成功しました。20年間正しくない可能性のある事実が信じられていたことに驚いています。ずいぶん長い間待たされました。やっと我々の論文が受理され、この事実は受け入れられたと考えています。本年度、正しさをちゃんと証明したこの共役不等式の応用はないものか研究しました。そして一つの、魅惑的な不等式を発見しました。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
L^p空間を、Lebesgue測度に変えてHausdorff contentという量により定義します。すると、1よりも真に小さな指数でHardy-Littlewoodの最大作用素は有界となることが知られています。近年、加重の理論の進展を受け、複雑な得意積分作用素が圧倒的に単純なsparse作用素により各点において支配されることが明らかにされました。興味深い事実として、このsparse作用素による支配を正当化するためには、得意積分作用素の持つ有界正、収束性当、長い間人々の治世によって育まれ蓄積されてきた、多くの事実が必要とされます。しかし、一たびこのsparse作用素による支配を認めてしまえば、これは各点支配となり、Lebesgue測度のような良い性質はとても望めない、Hausdorff contentという量により定義されたL^p空間上で、特異積分作用素当の有界正を論じることが可能となります。これは思えば素晴らしいことです。
Cantor集合は、閉区間[0,1]から初めて、3等分してその中央を捨てるということを続けて構成されます。実は、この各ステップに現れる閉区間全体はsparseの族を成すことが分かります。そして、これはsparse作用素がHausdorff contentという量により定義されたL^p空間上で有界とならない例を与えます。これは、Hausdolff contentがCantor集合の大きさを1と数えてしまうことによります。それでは、sparse作用素の行き先はどこになるのでしょうか。我々は、その行き先がOrlicz-Morrey空間の共役空間となることを突き止め、その特徴づけを与える研究を進めました。
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| Strategy for Future Research Activity |
Hausdorff contentという量により定義されたL^p空間上で定義されるsparse作用素の行き先は、Orlicz-Morrey空間の共役空間であることが分かりましたp=1のときは、完全な特徴づけが与えられています。それは、Orlicz-block空間の新たな簡明な特徴づけにもなっています。しかし、p>1のときは残念ながら完全な特徴づけには未だ至っていません。何とかしたいと願っています
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| Causes of Carryover |
昨年度は、新型コロナウイルスの感染拡大による社会の混乱に大きく翻弄され、適切な研究費の執行が困難でした。本年度は適切に研究を進めたいと思います。
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