2020 Fiscal Year Research-status Report
Study on the nuclear dimension of operator algebras
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19K03516
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
佐藤 康彦 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (70581502)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 分類理論 / Toms-Winter 予想 / Jiang-Su 環 / 核型次元 / KMS 状態 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでのC*-環の分類理論, 特に核型次元の研究では数学的に「単純」であるという基本条件が仮定されていた. 実際に, 分類理論で重要な Toms-Winter 予想は単純という条件下で予想され, トレース空間が有限次元という場合は主張が正しい事が証明できている. 当該年度の研究では, この「単純」という基本条件を仮定しない場合, Toms と Winter の予想する現象が起こりえない事を証明した. 特に, 端点トレースの各点では Jiang-Su環を吸収し局所的には核型次元が有限とみなせるが, 全体としては核型次元が有限ではない C*-環を構成し, 単純な場合とは本質的に異なる障害を明らかにした.
また, 力学系と核型次元の関わりとしてJiang-Su 環上の時間発展を考え, そのKMS状態の研究を行った. 具体的には, 実数直線上の全てのコンパクト集合に対し, これをKMS状態のパラメータとして実現しえる時間発展を Jiang-Su 環の上に構成した. Jiang-Su 環は核型次元有限な C*-環へ自然に吸収される事が知られている. この構成により全ての核型次元有限な単純 C*-環でトレースを持つものに対し, 与えられたコンパクト集合をKMS状態として実現しえる時間発展が構成できる様になった. この研究の応用として, これまで構成されていた Powers-Sakai 予想の反例をAF環のクラスから核型次元有限なC*-環のクラスへ拡張する事ができる. 更に, 今まで基本的に1つしか確認できていなかった反例が非加算無限個存在することが証明できた.
上記の結果をオンライン研究集会で発表し, 核型次元の概念を 2-positive 写像に置き換えた研究論文については Journal of Operator Theory への掲載が決定した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルスの影響で、予定されていた研究集会や海外出張がキャンセルされた為. また, オンラインによるセミナー講演や研究発表のため, 予想より研究時間が圧迫された事が主な理由です.
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| Strategy for Future Research Activity |
２０２１年度も引き続き新型コロナウイルスの影響で予定されていた研究集会が延期になることが予想され, 海外出張による学術交流が困難であると考えられる. その代案として, 当該年度はワクチン接種の状況が進んでいるアメリカから可能であればワクチンを接種した研究者を招聘し, キャンセルされた研究集会の代わりに学術交流を図りたいと計画している. 具体的にはワイオミ大学の Zhang Niu 氏が既にワクチンを接種し, 日本の状況が改善され入国可能ならば本研究者の所属する大学へ長期滞在する事を計画している. 状況の経過を注視しつつ, Niu 氏の滞在期間中に情報交換を行い遅れている本研究の推進を加速させたい.
また２０２０年度に培ったオンライン講演や研究集会の経験を活かし, オンラインでの国際学術交流を強化したい. 具体的に6月に上海で開かれる予定であった研究集会が２０２１年度はオンライン開催となり, そこでのオンライン講演を予定している.
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| Causes of Carryover |
当該年度に予定されていた研究集会が新型コロナウイルスの影響で延期, またはキャンセルされた為.
オンライン発表のための準備費用. また 新型コロナウイルスによる影響が改善した場合, 海外招聘者の滞在費に使用する事を計画しています.
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