2021 Fiscal Year Research-status Report
The Stokes phenomenon on linear or nonlinear, differential and differential equations
| Project/Area Number |
19K03566
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokushima |
|---|
Principal Investigator |
大山 陽介 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 教授 (10221839)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | q-パンルヴェ方程式 / 漸近展開 / q-超幾何函数 / 楕円函数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
パンルヴェ方程式の接続問題・大域解析について主に研究してきた。昨年度に引き続き，高階 (q-)パンルヴェ方程式の接続問題について考察した。本年度も研究が遅れており，年度内に完成させるには至らなかったが，高階 q-パンルヴェ方程式に関しても，2階の古典的な微分パンルヴェ方程式と同様にq-超幾何函数の接続公式を用いてq-パンルヴェ方程式の接続問題を解くことができるという当初の計画には間違いないものと考えているが，残念ながら完成に至っていない。10月の数理研の研究会で報告できる範囲の結果を報告した。
手法としては，q-パンルヴェ函数の原点の周りの解を解析して，変数を原点への極限に持っていくとq-パンルヴェ方程式を定める線型系（Lax対）が2つのq-超幾何方程式に分離するので，その分離の仕方に自由度が現れ，また，分離した2つのq-超幾何方程式を繋ぐ接続係数が表れる。古典的な2階の場合は，自由度がそれぞれ1つずつで明確だったが，高階の場合は自由度が増える（4階のq-藤・鈴木系の場合であれば2つずつ）ので，問題点と言えるのはこの部分であるが、まだ完成していない。
また、ブリオ・ブーケ型の理論のq-類似が完成されてないのも一因である。こうして、未解決の問題については整理されてきたので、2022年度には完成させつつ新たな発展を目指す。
また，本研究とは直接の関係はないが津田塾大学で行われた第31回数学史シンポジウムで「楕円函数と Painleve 性について」という題で講演を行い，歴史的にパンルヴェ方程式が発見された背景について解説した。直接の関係はないにしろ，楕円函数とパンルヴェ方程式は密接に関係するものであり，楕円漸近解析とも思想的には繋がるものである。今回あらためて原点に立ち返る機会を得て，この報告自体も今後のさまざまな研究に参考になると思っている。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
コロナ禍も2年目になったので，コロナ対策に自分のリソースの多くを突っ込んだ2020年度と比べればいろんなことが慣れてきたとは思うのであるが，思ったほどには前に進まなかった。増大したパラメタの制御と、非線型q-差分方程式の理論の局所理論の２点が課題となって，自分で当初思っていたほどには進んでいない。
|
| Strategy for Future Research Activity |
接続問題について進展が進んではいないが、今は目の前の課題を一つずつ解決すれば自ずと結果が出ると考えている。また、並行して研究している楕円型漸近解析の研究も進めていきたい。第４微分パンルヴェ方程式の楕円型漸近解析についてはあらすじはできているので、細かい計算を進めるのも今年度の特に後半の目標になる。
前半では、高階のq-パンルヴェ方程式の接続問題については確定の場合は完成させておく。2階のq-パンルヴェ方程式の接続問題についてもq-PIIIまではできるはずで，ジャクソンのq-ベッセル函数とハーン・エクストンのq-ベッセル函数との違いが出るところまでは示しておかないといけない。
その後は，問題が数多くあることはわかっており， q-PIIIで一番退化した場合などは内外でも進展があるので、自分の視点で付け加えていきたい。そのほかにも、微分であれ差分であれ，2階・高階に限らず一つずつ片付けていこうと思っている。
|
| Causes of Carryover |
本年もコロナ禍で旅費が使えなかった。2022年度はこれまで止まっていた海外出張などの計画が進む予定であり，10月にフランス・ストラスブールでの研究会での対面講演が予定されている。他にも日本国内への出張がようやくできるのではないかと思っている。
|
Research Products
(3 results)
