2021 Fiscal Year Research-status Report
Clifford-Klein forms and Dolbeault cohomology
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19K14529
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森田 陽介 京都大学, 理学研究科, 助教 (70804318)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 幾何学 / 位相力学系 / Conley指数 / 固有な作用 / 等質空間 / Clifford-Klein形 / K理論・KO理論 / condensed set |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) Conley 指数の新しい定式化を提案する論文を発表した。既存の研究では、Conley 指数は位相力学系の孤立不変部分集合に対して定義される、ホモトピー論的な不変量であった。本年度の研究では既存の議論を見直し、本質的な部分のみを抽出することで、より単純で適用範囲の広い定式化を得た。新しい定式化では、これまで使われていた「指数対」の代わりに「コンパクト化可能部分集合」「指数近傍」という概念を用いる。新しい定式化には「point-set level で定式化が可能」「孤立不変集合が無くても、コンパクト化可能部分集合を見つけることさえできれば、Conley 指数を考えることができる」という特長がある。
(2) 簡約 Lie 群の中の簡約閉部分群と非簡約閉部分群の Cartan 射影を比較することでコンパクト Clifford-Klein 形の非存在に関する結果が得られることが、研究代表者のこれまでの研究でわかっていた。本年度はこの結果を論文として纏めた。
(3) 一昨年度の研究で、簡約対称空間のコンパクト Clifford-Klein 形の存在問題を fibrewise ホモトピー・KO 理論を用いて調べる方法が見つかった。本年度はこの手法の適用範囲を簡約対称空間以外のクラスに広げることができないか考察した（Fanny Kassel・Nicolas Tholozan 両氏との共同研究）。
(4) 近年、Dustin Clausen・Peter Scholze 両氏によって「condensed set」という概念が位相空間の上位互換物として提唱されている。研究代表者は、位相空間ではなく condensed set を用いると、(1) で述べた Conley 指数の新しい定式化を極めて自然な形で表現できることを発見した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
論文を2本書くことができた。このうち Conley 指数に関する結果は、研究計画を立てた段階では予期していなかった結果であり、また今後さらに研究を発展させる余地が大きく残っている。コンパクト Clifford-Klein 形の存在問題に関する Fanny Kassel, Nicolas Tholozan 両氏との共同研究については、昨年度に続きやや滞ってしまった。
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| Strategy for Future Research Activity |
Conley 指数に関する研究をさらに進める。具体的には、Conley 指数のホモトピー不変性を新しい枠組みのもとで証明するために、condensed set のホモトピー論について考察する。
Fanny Kassel, Nicolas Tholozan 両氏との共同研究で得た結果を、論文の形に纏める。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症のため、今年度も出張/研究者招聘を行わなかった。そのため予算が余ってしまった。今後の感染状況にもよるが、次年度に旅費/招聘費として使用したいと考えている。
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