2021 Fiscal Year Research-status Report
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19K14577
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
齋藤 洋樹 日本大学, 理工学部, 助教 (20736631)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Hausdorff容量 / 荷重 / Choquet空間 / Sobolev空間 / Besov空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は荷重付きHausdorff容量による種々の関数空間を研究することが目的であるが，令和3年度における研究により以下の2つの成果を得た．
(1) 荷重付Choquet空間L^p(H^d)(コンパクト台を持つ連続関数のChoquetのLpノルムの完備化)は荷重付Hausdorff容量で定義した関数空間であるが，その上の連続線形汎関数の空間(双対空間)を完全に決定した．本研究によりRadon測度のなす荷重付きMorrey空間と一致するという結論を得ることができた．より正確には，p=1の場合は測度の荷重付き分数冪極大関数のL^∞ノルムが有限な集合と一致し，1<pの場合はそのChoquetの意味のL^pノルムが有限なものと一致する．これはAdamsの定理の拡張になっているが，この研究ではAdamsの示した証明方法には弱点があることを指摘し，完全な証明を与えた．
(2) (1)で得られた双対空間の応用として，Sobolevの不等式の荷重拡張の結果と，endpointの荷重付きBesov空間の荷重付きChoquet空間への埋め込み定理を示した．前者は自然数階の微分の荷重付きL^pノルムがChoquetノルムを評価するものでAdams, Maz'yaの結果を拡張している．Besov空間への埋め込み定理はそれを一般の分数冪に拡張するものである．これはXiaoが得た結果の拡張になっているが，(1)で得られた結果が有効に働いている．しかしBesovの埋め込み定理を証明する際，MuckenhouptのA_1型荷重でかつreverse HolderのRH_∞の条件を仮定した．後者の仮定を除いて成立すると予想されており，さらなる研究を進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
一昨年度はコロナ禍の影響により研究時間の確保に大変苦慮したことが研究計画の遅れの原因である．令和2年度までの期間，予定している計画の1/3までの進行にとどまったが，令和3年度では研究計画の2/3まで取り戻すことができた．現在は研究時間を確保できるようになっており，令和4年度において当初予定していた令和3年度の研究計画を遂行できると考えている．
現在は当初予定していた令和3年度の研究計画を遂行中であり，Xiaoの先行研究である分数冪Sobolev空間によって誘導されるcapacityの性質を精査し，その一般化である荷重付き分数冪Sobolev空間の定式化と，それによって誘導される荷重付きcapacityの定式化を試みている．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画に変更の必要はなく, 遅れを取り戻すよう最善を尽くす.
本研究計画の最終段階である荷重付き分数冪Sobolev空間の性質を明らかにし，p-Laplacian型の方程式の解を，分数冪Sobolevによって誘導されるcapacityのextremalで特徴づける研究を進める．分数冪Sobolev空間の性質は良く調べられており，Shi-Xiaoの研究によって，この空間のノルムの下限によって定義されたcapacityがある種の偏微分方程式の弱解になることが示されている．この下限は測りたい集合のindicatorを上からおさえる関数全体をわたる．だが，荷重付きの分数冪Sobolev空間の性質は未知の部分が多く，未開発の領域である．これまでの研究により，冪型荷重(power weight)による荷重を付けてcapacityを誘導する方法が適切であることがわかっている．まだp-Laplacian型の方程式に代わる適切な方程式を見出すことが出来ていないが，いくつかの手がかりを得ており，今年度中に結論を得ることができると確信している．
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| Causes of Carryover |
令和2年度と令和3年度の間はコロナ禍で旅費を計画通りに使用できなかったためにその分の予算が残った．そこで1年の研究期間の延長を申請している．令和4年度の状況の変化は予測できないが，オンラインによる研究発表が引き続き行われると考えられるため，使用できなかった旅費に代わるものとして，オンラインによる研究発表のための周辺機器の整備に利用する予定である．
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