2021 Fiscal Year Research-status Report
精度保証付き数値計算による反応拡散モデルの解に対する符号変化構造解析
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19K14601
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田中 一成 早稲田大学, 理工学術院, 次席研究員(研究院講師) (00801226)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 符号変化構造解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は精度保証付き数値計算の技術を用いて反応拡散モデルの計算機援用解析を行うことである。具体的には対象とする問題の真解uの存在を数学的に厳密な意味で保証し、かつその符号変化構造を明らかにすることが目的である。ここで“符号変化構造”とは「uの同符号領域(Nodal domain)の数」と「u=0となる点を結んだ線(Nodal line)の交わり方」を意味する。即ち、真解uが数値近似解の付近に存在することを具体的な誤差上限rと共に保証し、更にuの符号変化構造をも数学的に厳密な意味で保証をするということが本研究の目的である。本研究では、以下の3つの手順で対象問題の解の存在性および符号変化構造を明らかにした:「手順1:対象問題の近似解を求め、その近傍に真解が存在することを示す」「手順2:符号変化構造が不明な領域Uを特定し、U内のNodal sets非存在性を証明する」「手順3:手順2で得た情報を基にNodal setsの数とNodal lineの位相構造を決定する」。
特に本年度の研究によって手順2の中で核となったアイディアである「レベルセット内における局所ディリクレ問題に着目する手法」は定常問題に対する解のレギュライティの理論解析や数値解析における良いオーダーのL∞誤差評価に繋がる可能性があることが明らかになった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究成果を得るための考察過程で用いた「レベルセット内における局所ディリクレ問題に着目する手法」定常問題に対する解のレギュライティの理論解析や数値解析における良いオーダーのL∞誤差評価に繋がる可能性があることが明らかになり、本研究により当初予定していた以上の成果が得られている。
当該L∞誤差評価は本研究の主目的である符号変化構造解析に直接応用可能である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は本結果を追求し弱解のH1誤差評価から直接的にL∞誤差評価を得る新しい理論に繋げたい。それを本研究の主目的である符号変化構造解析に還元し、より精密な誤差評価と対象問題の符号変化構造のより深い解明を目指す。
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| Causes of Carryover |
本研究によりL∞誤差評価に応用可能な当初予定していた以上の成果が得られる可能性があることが分かり、また当該L∞誤差評価は本研究の主目的である符号変化構造解析に直接応用可能であるため、より精緻な研究成果を得るために研究計画を延長した。
本結果を周知するための学会発表や追加解析・裏付けのための実験のために予算を使用する。
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Research Products
(8 results)
