2019 Fiscal Year Research-status Report
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19K23407
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
榎園 誠 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (30843461)
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| Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2021-03-31
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| Keywords | ファイバー多様体 / 特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、完全交叉特異点のDurfee型不等式への最初の段階として、ファイバー多様体のスロープ不等式の研究を行った。特に、主に3次元ファイバー多様体で一般ファイバーが標準体積1、幾何種数2の一般型曲面（以下(1,2)曲面と呼ぶ）であるようなものに対して焦点を絞り考察した。このファイバー多様体は、スロープ不等式に関するBarja-Stoppino予想の反例となる多様体であり、また、相対標準写像などから自然に定まる2重被覆の構造を通して、3次元超曲面2重点のDurfee型不等式とも関連があり、興味深い対象である。
具体的には、まず(1,2)曲面を一般ファイバーに持つ3次元ファイバー多様体に対して、その相対標準写像は基点解消を取ると種数2の曲線束となり、さらにその相対標準写像を考えStein分解を取ると、2次Hirzebruch曲面束上の2重被覆となることを確認した。また逆に、2次Hirzebruch曲面束上の超曲面で一般ファイバーが(6,10)型の曲線となるものを取り、それを分岐因子とする2重被覆を取り特異点解消を取ると、(1,2)曲面のファイバー多様体を得ることを確認した。分岐因子の特異点の数値的不変量が、(1,2)曲面のファイバー多様体の不変量やスロープを決定していると考えられる。堀川氏の標準解消を用いて分岐因子と対応する2重被覆の同時特異点解消を取ることにより、分岐因子の特異点とファイバー多様体の不変量の関係を考察し、いくつかの部分結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
完全交叉特異点のDurfee型不等式は、3次元以上ではほとんど何も知られていない。当該年度は、一番単純な場合である3次元超曲面2重点の場合で、まだ完全とは言えないが、いくつかの部分結果を得た。そのため、本研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の今後の研究方策としては、まず(1,2)曲面を一般ファイバーに持つ3次元ファイバー多様体のスロープ不等式に関する研究をさらに進め、3次元超曲面2重点のDurfee型不等式の導出を目指す。そのためには、2重被覆の標準解消のプロセスをさらに解析する必要がある。その後、3次元超曲面特異点のDurfee型不等式を考察するため、超曲面を一般ファイバーに持つ3次元ファイバー多様体の研究に移行する。その後、さらに一般次元の場合や、完全交叉の場合に一般化することを目指す。
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| Causes of Carryover |
当該年度は3月2日から3月28日までスペイン・イタリアに研究集会への参加のため出張予定であったが、新型コロナウイルスの影響のため、参加予定であったイタリアでの研究集会が中止となり、予定を早めて帰国することとなった。その影響で次年度使用額が生じた。次年度は（新型コロナウイルスへの懸念のため、主に次年度後半の）国内及び国外出張費や、オンライン環境のための設備費用に次年度使用額を用いる予定である。
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