2020 Fiscal Year Research-status Report
Mathematical analysis of fluids with electrical effects
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19K23408
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Research Institution | Tokyo University of Science |
Principal Investigator |
梶原 直人 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (40843131)
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Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2022-03-31
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Keywords | 最大正則性理論 / 自由境界問題 / ストークス方程式 / 準定常問題 |
Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題における方程式は, 内部を定常状態, 境界においては時間発展の方程式である. 最大正則性理論を用いた先行研究の解法を調べていく中で, このような準定常問題に対する最大正則性理論が整備されていないことに気づいた. 特に楕円型正則性理論のAgmon-Douglis-NirenbergのLp評価や放物型正則性理論のDenk-Hieber-PruessのLp-Lq評価を主とし, relaxation typeと呼ばれる, 内部及び境界上で時間発展の方程式に対する最大Lp正則性理論の存在を知った. そこで, 今年度は内部を流体のストークス方程式ではなく, 高階の楕円型方程式とした準定常問題に対する最大LpLq正則性理論の研究から取り組むこととなった. 従来の最大正則性理論の仮定では, Lopationskii-Shapiro条件というものが重要であったが, 本研究ではasymptotic Lopatinskii-Shapiro条件という仮定が必要であることも明らかにした. さらに放物型PDEのLp-Lq評価をより高い可微分性で考えたhigher regularityの結果も得た. これにより外力データの正則性が高いときには, 解の正則性も高いことを示した. また, これについては初期条件の適合条件を正確にし, 必要十分条件の形で特徴づけも行なった. 特に滑らかなデータに対する滑らかな解を得ることも定理の系として得ることができた. 本来の研究テーマとしてあった半沢変換を用いない新たな自由境界問題の解法を模索するという点においては, 非局所項の影響が大きく, その制御がいまだにできず止まった状態となっている. しかし, 準定常問題に対する線形の基礎理論を構築でき, これらの応用としてさまざまなものができるのではないかと考えている.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新たな解法として考えていた最初の一手はとても上手く行ったと思ったが, その次が全く進展しなかった. また, 物理モデルの背景となる電気流体力学の勉強部分に時間がかかったり, 先行研究を論文で読んでみても, 一般に自由境界問題で取られる解法の理解が進まなかった. さらに途中で研究の興味が多少ずれてしまった. 準定常問題に対する最大正則性理論やhigher regularityの研究が整備されていないことに気づき, その研究を行なっていた.
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Strategy for Future Research Activity |
以前より, 方程式こそ全く異なるが, 界面支配モデルとの兼ね合いで似た解法が取られていると伺っていたので, その先行研究を調べ尽くし, 本研究にも当てはめれないかを考えてみる. それでも厳しい状況が続くようであれば, 自由境界の新たな解法という点においては妥協し, 従来の半沢変換での解法で考えてみる. その際, 可能ならば本年度整備していた準定常問題の最大正則性理論を用いられると良いと思っている. 4月より大学を異動し, 応用物理コース所属となったので, 物理の先生方に背景といった様々な議論をしてもらい, 自身の理解のペースを上げるように努めたいとも考えている.
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Causes of Carryover |
コロナの影響で旅費の使用が困難となったため. 次年度の使用計画は未定であるが, オンラインでの議論を円滑に進めるためのお金として一部使用する.
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Research Products
(2 results)