2023 Fiscal Year Annual Research Report
Mathematical analysis of fluids with electrical effects
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19K23408
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| Research Institution | Gifu University |
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Principal Investigator |
梶原 直人 岐阜大学, 工学部, 助教 (40843131)
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2019-08-30 – 2024-03-31
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| Keywords | 解析半群 / 最大正則性 / Stokes方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究を通じて, 偏微分方程式の解析を行なった. 自由境界問題を考える中で, 従来の手法として固定領域に変換する手法が知られていた. 私はそれに対する別のアプローチを考えようとした. 先行研究を調べていく中で, 解析半群生成定理や最大正則性定理が鍵であることを学んでいった. 境界の動きを捉える際には境界条件が非斉次となる線形微分方程式の解析が重要である. そうして, 準定常問題に対する最大正則性定理に関する研究に取り組んだ. また, 放物型方程式一般に関するhigher regularityの問題も取り組み, 外力と解の正則性の関係も調べた. また, 従来の最大正則性評価を示す際には, R有界性の議論が用いられていたが, 私はそれを通常の有界性や複素関数としての正則性の観点から考えた. これにより, 様々な境界条件でのStokes方程式に関して計算量が簡略化されることをみた. 二相流体や層状領域に関するモデルに対しても解公式を簡潔に与え, 解析半群生成と最大正則性を示すことができた. この際, 重力の影響や表面張力の影響を加味することもできた. 同様の手法により層状領域で熱方程式を考え, 両端の境界条件がさまざまなパターンであっても同様の定理を示すことができた. 一方, 本来の研究計画であった自由境界問題の適切性・解の挙動を示すことや, 電気の影響を加味することまではできなかった. しかし今回私が考えた理論をさらに深めていくことでこれらの問題に取り組むことができるのではないかと期待する. 私の結果を一言で述べると, 微分方程式に由来した係数行列の逆行列を求めることなく, 行列式のオーダーのみで解析が進んだり, Fourier multiplierシンボルの高階微分を計算することを不要にしたとも言える. これらの応用としての研究を今後も進めていきたいと考えている.
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