2019 Fiscal Year Research-status Report
Diffeomorphism and homeomorphism groups of 4-manifolds and gauge theory for families
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19K23412
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| Research Institution | Institute of Physical and Chemical Research |
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Principal Investigator |
今野 北斗 国立研究開発法人理化学研究所, 数理創造プログラム, 基礎科学特別研究員 (20845614)
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| Project Period (FY) |
2019-08-30 – 2021-03-31
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| Keywords | Seiberg-Witten方程式 / ゲージ理論 / 4次元多様体 / 微分同相群 / 同相群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Seiberg-Witten方程式から得られる，4次元多様体の滑らかな族に対する制約を研究した．このような制約が得られると，Freedman理論と併せて，位相的な4次元多様体バンドルであって，滑らかなバンドルの構造を持ち得ないものを構成できる可能性がある．そして，そのようなバンドルの存在が分かると，ファイバーの4次元多様体の同相群と微分同相群がホモトピー同値でないことが従う．このような方法論で4次元多様体の同相群・微分同相群のホモトピカルな比較を行うのが，本研究課題の目的であった．
当初の研究計画では，4次元多様体の族に対するDonaldsonの対角化定理と10/8不等式の対応物を得ることがひとつの目標であった．しかし，本研究課題の開始直前に，族に対するDonaldsonの対角化定理の対応物をBaraglia氏が証明した．これは，4次元多様体の同相群・微分同相群のホモトピカルな比較について，非常に強力な応用を持っている．このため，当初の研究計画を多少変更し，族に対する10/8不等式の対応物の研究に集中することになった．
また，前述のBaraglia氏の結果を受けて，その議論の射程を広げる研究も行った．特に，中村信裕氏との共同研究で，Baraglia氏の結果のPin^-(2)-モノポール版を確立し，応用範囲を広げることに成功した．この結果は，4次元多様体の同相群・微分同相群のホモトピカルな比較としては，最も広範な4次元多様体に適用できるものである．この結果をプレプリントにまとめ，arXivで公開した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述のBaraglia氏の結果のため，研究計画に変更はあったが，むしろ計画が促進された部分が大きい．実際に，元々目指していた方向性で，応用上は当初予期していた以上の結果を得ることができた．一方で，族に対する10/8不等式の対応物は，本研究課題の開始前までに一定の結果に到達し，プレプリントにまとめ，arXivで公開するに至った．本研究課題開始後も研究を続けたが，今後この方向性でさらなる結果が得られるかは，まだ確証が得られていない．
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| Strategy for Future Research Activity |
Baraglia氏の議論の射程を広げる可能性をさらに追求すべきであると考えている．具体的には，Baraglia氏の議論は閉4次元多様体に対する結果であるが，4次元多様体に境界がある場合に，いくつかの方法でBaraglia氏の議論を拡張できる可能性がある．今後はこの方向性を探っていこうと考えている．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で参加予定だったいくつかの研究集会が消滅したため次年度使用額が生じた．翌年度は物品の購入に使用する予定である．
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