2008 Fiscal Year Annual Research Report
応用数学に現れるゼータ関数の数論的および符号理論的研究
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20540032
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| Research Institution | Kinki University |
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Principal Investigator |
知念 宏司 Kinki University, 理工学部, 准教授 (30419486)
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| Keywords | 線型符号 / ゼータ関数 / 不変式環 / 完全符号 / リーマン予想 / 自己相反多項式 / エネストレーム-掛谷の定理 |
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| Research Abstract |
デュールスマによって1999年に定義された、線型符号のゼータ関数拡張に関する研究を行なっている。具体的には、自己双対でない線型符号も考察対象とできるように、ゼータ関数の定義を新しく拡張した。それは、符号が自己双対であれば本来のデュールスマの定義と一致するので、デュールスマの理論を完全に含む拡張である。この結果、任意の線型符号に対して拡張したゼータ関数を定義することができるようになった。本研究では、MDS符号と完全符号を考察対象とした。その結果、まずMDS符号に関しては、意味のあるほとんどすべてのパラメータに対し、拡張されたゼータ関数はリーマン予想を満たすことが証明できた。自明でない線型完全符号には、一般ハミング符号(無限系列)、ゴレイ符号(2個)がある。一般ハミング符号については、有限体のサイズをq、符号長を(q^r-1)/(q-1)と表すとき、q≧4、r≧3の場合に、拡張されたゼータ関数はリーマン予想を満たすことが証明できた。さらに2個のゴレイ符号に対しても、拡張されたゼータ関数はリーマン予想を満たすことが証明できた。このように、リーマン予想を満たす不変式が数多く、しかも性能のよい符号に関連して見つかったことは非常に興味深いといえる。さらに、一般ハミング符号に関する上記の結果の証明には、有名なエネストレーム-掛谷の定理の自己相反類似ともいうべきものを証明して用いた。これ自体も興味深く、他の種々の問題に応用が可能なものであるため、その意義は非常に大きいと思われる。
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